Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

I. Tiệm cận ngang, tiệm cận đứng, tiệm cận xiên

1. Định nghĩa tiệm cận ngang: 

Đường thẳng \(y=y_0\) được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) nếu \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=y_0\) hoặc \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=y_0\) 

2. Định nghĩa tiệm cận đứng : 

Đường thẳng \(x=x_0\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

\(\lim\limits_{x\rightarrow x^+_0}f\left(x\right)=+\infty;\lim\limits_{x\rightarrow x^+_0}f\left(x\right)=-\infty;\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f\left(x\right)=+\infty​\)\(\lim\limits_{x-x^-_0}f\left(x\right)=-\infty\)

3. Định nghĩa tiệm cận xiên : 

Đường thẳng \(y=ax+b,\left(a\ne0\right)\) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) nếu \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0\) hoặc \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0\)

II Qui tắc tìm các đường tiệm cận

1. Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.

• Tìm \(\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}f\left(x\right)\) ⇒TCN.

• Tìm \(\lim\limits_{x\rightarrow x^{\pm}_0}f\left(x\right)\) ⇒TCĐ.

Lưu ý :

\(x_0\) thường là một nghiệm của mẫu.

2. Tìm tiệm cận xiên.

• C1 : Viết lại hàm số dưới dạng \(y=ax+b+g\left(x\right)\). Chỉ ra \(\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\left[y-\left(ax+b\right)\right]=0\) ⇒TCX.

• C2 : Tính \(a=\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}\)\(b=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left[f\left(x\right)-ax\right]\) ⇒TCX.

III. Các ví dụ 

Ví dụ 1 :

Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số :

\(f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x+2}\)

Bài giải :

Hàm số đã cho xác định trên tập hợp \(R\backslash\left\{2\right\}\)

Ta có \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)-\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x-1}{x+2}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{2-\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}=2\)

và \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)-\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x-1}{x+2}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{2-\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}=2\)

\(\Rightarrow y=2\) là tiệm cận ngang của đồ thị khi \(x\rightarrow-\infty\) và \(x\rightarrow+\infty\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow\left(-2\right)^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow\left(-2\right)^-}\frac{2x-1}{x+2}=-\infty\)

và \(\lim\limits_{x\rightarrow\left(-2\right)^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow\left(-2\right)^+}\frac{2x-1}{x+2}=+\infty\)

\(\Rightarrow x=-2\) là tiệm cận đứng của đồ thị khi \(x\rightarrow\left(-2\right)^-\) và \(x\rightarrow\left(-2\right)^+\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x-1}{x\left(x+2\right)}=0\Rightarrow\) hàm số f  không có tiệm cận xiên khi \(x\rightarrow-\infty\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x-1}{x\left(x+2\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{2-\frac{1}{x}}{x+2}=0\Rightarrow\) hàm số f  không có tiệm cận xiên khi \(x\rightarrow+\infty\)

Ví dụ 2 :

Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số :

\(f\left(x\right)=\frac{x^2-x+1}{x-1}\)

Bài giải :

Hàm số xác định trên tập hợp \(D=R\backslash\left\{1\right\}\)

Ta có : \(f\left(x\right)=x+\frac{1}{x+1}\)

\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}x+\frac{1}{x+1}=+\infty\)

và \(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\left(x+\frac{1}{x-1}\right)=-\infty\Rightarrow x=1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x+\frac{1}{x}\right)=+\infty\)

và \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x+\frac{1}{x-1}\right)=-\infty\Rightarrow\) hàm số không có tiệm cận ngang

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(f\left(x\right)-x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x-1}\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(f\left(x\right)-x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{x-1}=0\)

\(\Rightarrow y=x\) là tiệm cận của đồ thị hàm số khi \(x\rightarrow+\infty\) và \(x\rightarrow-\infty\)

Ví dụ 3 :

Cho hàm số \(y=\frac{mx+1}{2x-3}\) có đồ thị \(\left(C_m\right)\)

a. Tìm m để hàm số có tiệm cận đứng của đồ thị  \(\left(C_m\right)\)

b. Tìm m để  \(\left(C_m\right)\) cắt đường thẳng \(\Delta:y=x-2\) ở 1 nhánh ở  \(\left(C_m\right)\)

Bài giải :

a. Đồ thị  \(\left(C_m\right)\) có tiệm cận đứng \(\Leftrightarrow1+\frac{3m}{2}\ne0\Leftrightarrow m\ne-\frac{2}{3}\)

Khi đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x=\frac{3}{2}\)

b. Xét phương trình có hoành độ và giao điểm của \(\Delta\) và  \(\left(C_m\right)\):

\(\frac{mx+1}{2x-3}=x-2\Leftrightarrow2x^2-\left(m+7\right)x+5=0\)   (1)

Để  \(\left(C_m\right)\) cắt đường thẳng  \(\Delta:y=x-2\) ở 1 nhánh ở  \(\left(C_m\right)\) thì phương trình (1) có nghiệm \(x_1,x_2;\left(x_1\le x_2\right)\), thỏa mãn :

\(x_1\le x_2< \frac{3}{2}\) hoặc \(x_1\le x_2< \frac{3}{2}\Leftrightarrow\Delta\ge0\) và \(\left[\begin{array}{nghiempt}x_1-\frac{3}{2}\le x_2-\frac{3}{2}< 0\\0< x_1-\frac{3}{2}\le x_2-\frac{3}{2}\end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}m\in\left(-\infty;-7-\sqrt{40}\right)\cup\left(-7+\sqrt{40};+\infty\right)\\\left(x_1-\frac{3}{2}\right)\left(x_2-\frac{3}{2}\right)>0\end{cases}\)

<=>  \(m\in\)(\(-\infty;-7-\sqrt{40}\)\(\cup\) [\(-7+\sqrt{40};+\infty\))  và  \(x_1x_2-\frac{3}{2}\left(x_1+x_2\right)+\frac{9}{4}>0\)

Theo định lý Viet ta có :

\(\begin{cases}x_1+x_2=\frac{m+7}{2}\\x_1.x_2=\frac{5}{2}\end{cases}\)

Thay vào ta có : \(m\in\)(\(-\infty;-7-\sqrt{40}\)\(\cup\) [\(-7+\sqrt{40};+\infty\)) và \(m< -\frac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow-7+\sqrt{40}\le m< -\frac{2}{3}\) hoặc \(m\le-7-\sqrt{40}\)

Vậy (\(-\infty;-7-\sqrt{40}\)\(\cup\) [ \(-7+\sqrt{40};-\frac{2}{3}\))

Ví dụ 3 :

Cho hàm số \(y=\frac{-x+1}{x-2}\) có đồ thị (C)

a. Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M bất kỳ thuộc (C) đến 2 đường tiệm cận là một giá trị không đổi

b. Tìm điểm M thuộc (C) để tổng các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất

c. Tìm trên (C) các điểm A, B sao cho độ dài AB = 4 và đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x

Bài giải

a. Ta có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận ngang là y = - 1

Gọi \(M\left(x_0;\frac{-x_0+1}{x_0-2}\right);x_0\ne2\)

Gọi \(d_1;d_2\) lần lượt là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang thì : \(d_1d_2=\left|x_0-2\right|.\left|\frac{-1}{x_0-2}\right|=1\)là một giá trị không đổi

b. Ta có \(d_1+d_2=\left|x_0-2\right|+\left|\frac{-1}{x_0-2}\right|\ge2\)

Suy ra \(d_1+d_2\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\left|x_0-2\right|=\left|\frac{-1}{x_0-2}\right|\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x_0=1\\x_0=3\end{array}\right.\)

Từ đó ta có các điểm cần tìm là \(M_1\left(1;0\right);M_2\left(3;-2\right)\)

c. Vì đường thẳng AB vuông góc với \(y=x\) nên phương trình của AB là \(y=-x+m\)

Hoành độ của A, B là nghiệm của phương trình :

\(\frac{-x+1}{x-2}=-x+m\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-\left(m+3\right)x+2m+1=0\left(b\right)\\x\ne2\end{cases}\)

Để tồn tại các điểm A và B thì phương trình (b) có nghiệm khác 2

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta=m^2-2m+5>0\\4-\left(m+3\right).2+2m+1\ne0\end{cases}\)(đúng với mọi m)

Gọi \(A\left(x_1;-x_1+m\right);B\left(x_2;-x_2+m\right)\) với \(x_1;x_2\) là nghiệm của phương trình (b)

Theo định lí Viet ta có : \(x_1+x_2=m+3;x_1x_2=2m+1\)

Theo giả thiết bài toán thì \(AB^2=16\Leftrightarrow\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2=16\)

                                        \(\Leftrightarrow\left(x_2-x_1\right)^2+\left(-x_2+m+x_1-m\right)^2=16\)

                                        \(\Leftrightarrow\left(x_2-x_1\right)^2=8\)

                                        \(\Leftrightarrow m^2-2m-3=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m=3\\m=-1\end{array}\right.\)

* Với m = 3 , phương trình (b) trở thành \(x^2-6x+7=0\Leftrightarrow x=3\pm\sqrt{2}\)

 Suy ra 2 điểm A, B cần tìm là \(\left(3+\sqrt{2};-\sqrt{2}\right);\left(3-\sqrt{2};\sqrt{2}\right)\)

* Với m = - 1 ta có 2 điểm A, B cần tìm là : \(\left(1+\sqrt{2};-2-\sqrt{2}\right);\left(1-\sqrt{2};-2+\sqrt{2}\right)\)

Vậy cặp điểm thỏa mãn : \(\left(3+\sqrt{2};-\sqrt{2}\right);\left(3-\sqrt{2};\sqrt{2}\right)\) hoặc \(\left(1+\sqrt{2};-2-\sqrt{2}\right);\left(1-\sqrt{2};-2+\sqrt{2}\right)\)

Tài liệu đọc thêm 

Tiệm cận hàm số - Ôn thi toán đại học

Hỏi đáp

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...