Dao động tắt dần do ma sát

DAO ĐỘNG TẮT DẦN DO MA SÁT

1. Độ giảm cơ năng do ma sát

- Ở lớp 10 chúng ta đã biết đến định lý biến thiên cơ năng: "Biến thiên cơ năng của vật bằng công ngoại lực tác dụng lên vật đó", biểu thức: \(\Delta W = A_{nl}\)

- Đối với con lắc lò xo dao động do ma sát thì lực ma sát sinh công cản, làm giảm cơ năng của con lắc. Theo định lý biên thiên cơ năng ta suy ra công của lực ma sát bằng độ giảm cơ năng của vật. Biểu thức: \(\boxed{A_{ms}=W_1-W_2}\)

- Ví dụ: Ban đầu cơ năng của vật là \(W_1=0,8J\), lực ma sát sinh công \(A=0,2 J\) thì cơ năng của vật còn là: \(W_2=W_1-A=0,8-0,2=0,6J\)

2. Bài toán tìm độ giảm biên độ sau mỗi chu kì

- Bài toán: Con lắc lò xo dao động theo phương nằm ngang. Biết khối lượng vật nặng là \(m\), độ cứng lò xo \(k\) và hệ số ma sát giữa vật với mặt phẳng nằm ngang là \(\mu\). Tìm độ giảm biên độ sau mỗi chu kì dao động.

- Lời giải: 

+ Giả sử ban đầu vật ở \(M\) có biên độ là \(A_0\), sau một nửa chu kì vật đến \(N\) có biên độ là \(A_1\).

+ Tại M cơ năng của vật là: \(W_0=\dfrac{1}{2}k.A_0^2\)

+ Tại N cơ năng của vật là: \(W_1=\dfrac{1}{2}k.A_1^2\)

+ Công của lực ma sát khi vật dao động từ M đến N là: \(A_{ms}=F_{ms}.MN=\mu.mg.(A_0+A_1)\)

+ Độ giảm cơ năng bằng công ngoại lực, suy ra: \(A_{ms}=W_0-W_1\) \(\Rightarrow \mu.mg.(A_0+A_1)=\dfrac{1}{2}k.A_0^2-\dfrac{1}{2}k.A_1^2\)\(\Leftrightarrow \mu.mg.(A_0+A_1)=\dfrac{1}{2}k(A_0^2-A_1^2)\)\(\Leftrightarrow \mu.mg.(A_0+A_1)=\dfrac{1}{2}k(A_0-A_1)(A_0+A_1)\)\(\Rightarrow \Delta A=\dfrac{2\mu mg}{k}\)

- Kết luận:

          + Độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kì là: \(\boxed{ \Delta A=\dfrac{2\mu mg}{k}}\)

          + Suy ra độ giảm biên độ sau mỗi chu kì là: \(\boxed{ \Delta A'=\dfrac{4\mu mg}{k}}\)

3. Bản chất của dao động tắt dần do ma sát

Xét dao động từ M đến N:

+ Khi vật đến O' (có toạ độ \(x_0\)) thì lực đàn hồi của lò xo cân bằng với lực ma sát, ta nói O' là vị trí cân bằng mới của vật (chứ không phải O).

   Khi đó: \(F_{dh}=F_{ms}\) \(\Rightarrow k.x_0=\mu mg\) \(\Rightarrow \boxed{ x_0=\dfrac{\mu mg}{k}}\)

+ Dao động của vật từ M đến N là một dao động điều hoà với vị trí cân bằng là O' và biên độ là O'M. 

+ Tại O' vật đạt vận tốc cực đại: \(v_{max}=\omega.(O'M)=\omega(A-x_0)\)

Khi vật dao động theo chiều ngược lại, cũng xét tương tự, nhưng vị trí cân bằng mới ở O''.

Như vậy, trong dao động tắt dần, nếu xét trong một nửa chu kì dao động (vật đi từ biên độ này đến biên độ kia) thì dao động của vật là một dao động điều hoà.

4. Ví dụ

Ví dụ 1(ĐH 2010): Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,02 kg và lò xo có độ cứng 1 N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,1. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén 10 cm rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần. Lấy g = 10 m/s². Tốc độ lớn nhất của vật nhỏ đạt được trong quá trình dao động là

Giải:

Tần số góc: \(\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{1}{0,02}}=5\sqrt 2(rad/s)\)

Vị trí cân bằng mới: \(x_0=\dfrac{\mu mg}{k}=\dfrac{0,1.0,02.10}{1}=0,02m=2cm\)

Tốc độ lớn nhất của vật trong quá trình dao động: \(v_{max}=\omega.(A-x_0)=5\sqrt 2.(10-2)=40\sqrt 2(cm/s)\)

Ví dụ 2: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,1 kg và lò xo có độ cứng 10 N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,2. Ban đầu, kéo vật cho lò xo giãn 6cm rồi thả nhẹ. Lấy g = 10 m/s². Tính thời gian ngắn nhất từ lúc thả vật đến khi lò xo không biến dạng.

Giải:

Vị trí cân bằng mới: \(x_0=\dfrac{\mu mg}{k}=\dfrac{0,2.0,1.10}{10}=0,02m=2cm\)

Lò xo không biến dạng ứng với li độ x = 0cm. Khi thả vật, trong nửa chu kì đầu, dao động của vật là dao động điều hoà quanh vị trí cân bằng mới có toạ độ \(x_0=2cm\).

Ta có: 

                

Khi đó, thời gian để vật đi từ biên về vị trí lò xo không biến dạng O bằng thời gian véc tơ quay đã quay từ M về N. 

Góc quay \(\alpha=90+30=120^0\)

Thời gian: \(t=\dfrac{120}{360}T=\dfrac{1}{3}.2\pi\sqrt{\dfrac{0,1}{10}}=\dfrac{\pi}{15}s\)

5. Tài liệu tham khảo

Bài tập về con lắc lò xo có ma sát