Nhắc lại về đa thức

1. Phép chia đa thức.

Định nghĩa 1.1.

Cho hai đa thức \(f\left(x\right)\)\(g\left(x\right)\) trong đó bậc \(f\left(x\right)\ge\) bậc \(g\left(x\right)\). Luôn tồn tại hai đa thức \(h\left(x\right)\)\(r\left(x\right)\) với bậc \(r\left(x\right)\) < bậc \(g\left(x\right)\) sao cho \(f\left(x\right)=g\left(x\right)h\left(x\right)+r\left(x\right)\) . Khi đó ta nói phép chia đa thức \(f\left(x\right)\) cho đa thức \(g\left(x\right)\) được đa thức \(h\left(x\right)\) và dư đa thức \(r\left(x\right)\). Ta còn viết \(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=h\left(x\right)+\frac{r\left(x\right)}{g\left(x\right)}\)

Định lý 1.2. (Bézout) Dư trong phép chia đa thức \(f\left(x\right)\) cho \(x-c\)\(f\left(c\right)\).

Chứng minh: Chia \(f\left(x\right)\) cho \(x-c\) ta được thương \(q\left(x\right)\) và dư r (với r là một hằng số vì bậc của r nhỏ hơn bậc của \(x-c\)). Khi đó ta có:

      \(f\left(x\right)=\left(x-c\right)q\left(x\right)+r\)

Thay \(x=c\) vào ta có: \(f\left(c\right)=r\) . 

Hệ quả : Nếu \(f\left(c\right)=0\) thì đa thức \(f\left(x\right)\) chia hết cho \(r\left(x\right)\), ta có phân tích \(f\left(x\right)=\left(x-c\right)q\left(x\right)\)

2. Sơ đồ Horner.

Khi chia đa thức \(f\left(x\right)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+....+a_kx^{n-k}+....a_n\)cho \(x-c\) ta được thương \(h\left(x\right)=b_0x^{n-1}+b_1x^{n-2}+.....+b_kx^{n-k-1}+...+b_{n-1}\) và dư \(r\left(x\right)=b_n\). Các hệ số của \(h\left(x\right)\) thỏa mãn sơ đồ Horner sau :

  \(a_0\)             \(a_1\)   ........             \(a_k\)      ..........   \(a_n\)        
c \(b_0\)             \(b_1\)   ........             \(b_k\)      ...........   \(b_n\)

Trong đó \(\begin{cases}b_0=a_0\\b_k=cb_{k-1}+a_k\left(k\ge\right)1\end{cases}\) 

3. Định lý về dấu tam thức bậc hai. 

Định lý 1.3 : Cho tam thức bậc hai \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)\) có \(\Delta=b^2-4ac\)

• Nếu ∆ < 0 thì \(f\left(x\right)\) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ R;

• Nếu ∆ = 0 thì \(f\left(x\right)\) cùng dấu với hệ số a với mọi \(x\ne-\frac{b}{2a}\) ;

• Nếu ∆ > 0 thì \(f\left(x\right)\) có hai nghiệm \(x_1,x_2\) và \(x_1\)<\(x_2\). Khi đó \(f\left(x\right)\) trái dấu với hệ số a với mọi x nằm trong khoảng (\(x_1;x_2\)) (tức là với \(x_1\) < \(x\) < \(x_2\)), và \(f\left(x\right)\) cùng dấu với hệ số a với mọi x nằm ngoài đoạn [\(x_1;x_2\)] (tức là x < \(x_1\) hoặc x > \(x_2\)).

4. Dấu đa thức bậc n. 

• Đa thức bậc n có đủ n nghiệm : "Phải cùng, đan dấu".

• Đa thức bậc n có ít hơn n nghiệm : Dấu \(f\left(x\right)\) trên (\(x_i;x_{i+1}\)) là dấu \(f\left(c\right)\), trong đó c ∈ (\(x_i;x_{i+1}\)).

• Tích thương các nhị thức, tam thức : Lập bảng xét dấu chung cho các nhị thức, tam thức. 

Tài liệu tham khảo thêm

Đa thức, các bài toán về đa thức

Hỏi đáp

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...