Các phép toán trên số phức

1. Phép cộng hai số phức

    cho hai số phức z = a + bi và z' = a' + b'i

    z + z' = (a + a') + (b + b')i

Tính chất:

    - Kết hơp: (z + z') + z'' = z + (z' + z'')

    - Giao hoán: z + z' = z' + z

    - Số đối của z = a + bi là số -z = -a -bi

2. Phép trừ hai số phức

  cho hai số phức z = a + bi và z' = a' + b'i

    z - z' = (a - a') + (b - b')i

3. Phép nhân hai số phức

   Cho z = a + bi và z' = a' + b'i, lấy tích của hai số và chú ý i2 = -1 ta có:

    z . z' = (a + bi)(a' + b'i) = aa' + ab'i + a'bi + bb'i2 = aa' + ab'i + a'bi + bb'(-1) = aa' - bb' + (ab' + a'b)i

  Tính chất:

     - với k là số thực thì k.z = ka + kbi

    - Giao hoán: z.z' = z'.z

    - Kết hợp: (z.z').z'' = z.(z'.z'')

    - Phân phối của phép nhân đối với phép cộng

       z.(z' + z'') = z.z' + z.z'' 

4. Phép chia cho số phức khác 0

 - Mô đun (kí hiệu là |z|) của số phức z = a + bi là một số thực \(\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

 - Số phức liên hợp (kí hiệu là \(\overline{z}\)) của số phức z = a + bi là số phức \(\overline{z}=a-bi\)

- Nghịch đảo (kí hiệu z-1) của số phức z là số phức sao cho tích với z thì bằng 1. Ta dễ nhận thấy:

        \(z^{-1}=\frac{1}{\left|z\right|^2}\overline{z}=\frac{1}{a^2+b^2}\left(a-bi\right)\)

       Vì \(\frac{1}{a^2+b^2}\left(a-bi\right)\left(a+bi\right)=\frac{a^2-b^2i^2}{a^2+b^2}=1\)

- Chia số phức z' = a' + b'i cho số phức z = a + bi là lấy z' nhân với z-1

    \(\frac{z'}{z}=z'.z^{-1}=\left(a'+b'i\right)\frac{1}{a^2+b^2}\left(a-bi\right)=\frac{a'a+bb'}{a^2+b^2}+\frac{ab'-a'b}{a^2+b^2}i\)

5. Mô đun của tích, thương hai số phức

- Mô đun của một tích bằng tích hai mô đun:  \(\left|z_1.z_2\right|=\left|z_1\right|.\left|z_2\right|\)

- Mô đun của một thương bằng thương hai mô đun: \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}\)

Chứng minh:

Giả sử \(z_1=a+bi;z_2=x+yi\)

- Tích \(z_1.z_2=\left(ax-by\right)+\left(bx+ay\right)i\)

   \(\left|z_1.z_2\right|=\sqrt{\left(ax-by\right)^2+\left(bx+ay\right)^2}\)

               \(=\sqrt{a^2x^2+b^2y^2+b^2x^2+a^2y^2}=\sqrt{a^2\left(x^2+y^2\right)+b^2\left(x^2+y^2\right)}\)

              \(=\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\)

             \(=\left|z_1\right|.\left|z_2\right|\)

- Thương \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+bi}{x+yi}=\frac{\left(a+bi\right)\left(x-yi\right)}{\left(x+yi\right)\left(x-yi\right)}=\frac{ax+by}{x^2+y^2}+\frac{\left(bx-ay\right)}{x^2+y^2}i\)

=> \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\sqrt{\frac{\left(ax+by\right)^2+\left(bx-ay\right)^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}}=\sqrt{\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}}\)

            \(=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{x^2+y^2}}=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}\)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Số phức: 4 dạng toán trong đề thi đại học

Các bài toán số phức trong các đề thi đại học, có hướng dẫn giải

chuyên đề số phức lớp 12

BAI TAP SO PHUC CO LOI GIAI

Hỏi đáp

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...