Các dạng toán liên quan

Dạng 1 : Tính giá trị biểu thức rút gọn - Chứng minh đẳng thức  - Bất đẳng thức

1. Phương pháp giải :

Đưa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ và sử dụng các công thức của lũy thừa và logarit

2. Ví dụ minh họa :

Ví dụ 1 : Tìm giá trị của biểu thức sau : 

\(A=\left(\frac{1}{16}\right)^{\log_{32}3}\)

Bài giải :

Ta có : \(A=\left(\frac{1}{16}\right)^{\log_{32}3}=\left(2^{-4}\right)\log_25^3=2^{\frac{4}{5}\log_23}=2^{\log_23^{\frac{5}{4}}}=3^{\frac{-4}{5}}=\frac{1}{\sqrt[5]{81}}\)

Ví dụ 2 : Tìm giá trị của biểu thức sau : 

\(B=\left(\frac{3}{4}\right)^{\left(\sqrt{3}+2\right)\sqrt[4]{\left(\sqrt{3-2}\right)^4}}-\left(\frac{64}{27}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt[-6]{64}}\)

Bài giải :

\(B=\left(\frac{3}{4}\right)^{\left(\sqrt{3}+2\right)\sqrt[4]{\left(\sqrt{3-2}\right)^4}}-\left(\frac{64}{27}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt[-6]{64}}=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=4\)

Ví dụ 3 : Tìm giá trị của biểu thức sau : 

\(C=\log_{\frac{1}{27}}\left(\log_316.\log_23\right)-\log_{25}20+\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{5}}\frac{25}{4}\)

Bài giải :

\(C=\log_33\left(4\log_32.\log_23\right)-\log_{5^2}20+\frac{1}{2}\log_{5^{-1}}\frac{25}{4}\)

    \(=-\frac{3}{4}\log_33-\frac{1}{2}\left(\log_520+\log_5\frac{25}{4}\right)\)

    \(=-\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\log_55^3=-\frac{4}{3}-\frac{3}{2}=-\frac{17}{6}\)

Ví dụ 4 : Tìm giá trị của biểu thức sau : 

\(D=\log_{\sqrt{5}}\left(0,2\right)+10^{1-lg15}-3\left(\frac{1}{5}\right)^{1+\log_53}\)

Bài giải :

\(D=\log_{\sqrt{5}}\left(0,2\right)+10^{1-lg15}-3\left(\frac{1}{5}\right)^{1+\log_53}\)

     \(=-2+\frac{10}{15}-\frac{3}{5}.3^{-1}=-2+\frac{2}{3}-\frac{3}{2}=-\frac{17}{6}\)

Ví dụ 5 : Tính \(\log_{25}15\) theo \(a=\log_315\):

Ta có \(\log_{25}15=\frac{1}{2}\log_515=\frac{1}{2}\log_53.5=\frac{1}{2}\left(\log_53+1\right)\)

Theo giả thiết ta lại có :

\(a=\log_315=\log_33.5=1+\log_35\Rightarrow\log_35=a-1\)

\(\Rightarrow\log_53=\frac{1}{\log_35}=\frac{1}{a-1}\)

Do đó \(\log_{25}15=\frac{1}{2}\left(\log_53+1\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a-1}+1\right)=\frac{a}{2\left(a-1\right)}\)

Vậy \(\log_{25}15=\frac{a}{2\left(a-1\right)}\)

Ví dụ 6 : Biết \(\log_{27}5=a;\log_87=b;\log_23=c\). Tính \(\log_635\) theo a, b, c

Bài giải : 

Theo giả thiết ta có :

\(\log_{27}5=a\Rightarrow\frac{1}{3}\log_35=a\Rightarrow\log_35=3a\)

\(\log_23.\log_35=\log_25=3ac\)

\(\log_87=\frac{1}{3}\log_27=b\Rightarrow\log_37=\frac{\log_27}{\log_23}=\frac{3b}{c}\)

Ta lại có :

                 \(\log_635=\log_65+\log_67=\frac{1}{\frac{1}{\log_25}+\frac{1}{\log_35}}+\frac{1}{\frac{1}{\log_27}+\frac{1}{\log_37}}\)

                             \(=\frac{3ac}{1+c}+\frac{3b}{1+c}=\frac{3\left(ac+b\right)}{1+c}\)

vậy \(\log_635=\frac{3\left(ac+b\right)}{1+c}\)

Ví dụ 7 : Rút gọn biểu thức sau :

\(A=\frac{\ln\left(10-4\sqrt{6}\right)^{20}+\ln\left(\sqrt{49+20\sqrt{6}}\right)^{20}}{4\log_3128\ln\sqrt{e}+5\log_{\frac{1}{9}}4\ln\left(e^3\sqrt[5]{e}\right)}.\log_349.\log_78\)

Bài giải :

Ta có \(\sqrt{49+20\sqrt{6}}=\sqrt{\left(5+2\sqrt{6}\right)^2}=5+2\sqrt{6}\)

Suy ra \(\ln\left(10-4\sqrt{6}\right)^{20}+\ln\left(\sqrt{49+20\sqrt{6}}\right)^{20}=\ln2^{20}\left(5-2\sqrt{6}\right)^{20}+\ln\left(5+2\sqrt{6}\right)^{20}\)

                                                                                       \(=\ln2^{20}\left[\left(5-2\sqrt{6}\right)\left(5+2\sqrt{6}\right)\right]^{20}=20\ln2\)

\(4\log_3128\ln\sqrt{e}+5\log_{\frac{1}{9}}4\ln\left(e^3\sqrt[5]{e}\right)=4\log_32^7\ln e^{\frac{1}{2}}+5\log_{3^{-2}}2^2\ln e^{3+\frac{1}{5}}\)

                                                                   \(=14\log_32-15\log_32=-\log_32\)

\(\log_349\log_78=\log_37^2\log_72^3=6\log_37\log_72=6\log_32\)

Vậy \(A=-120\ln2\)

 Ví dụ 8 :

Chứng minh rằng : \(\frac{\log_an}{\log_{ab}n}=1+\log_ab\)                                 với a, b, n là các số dương và \(a,ab\ne1\)                           

Bài giải :

Ta có \(\frac{\log_an}{\log_{ab}n}=\frac{\log n}{\log a}.\frac{\log ab}{\log n}=\log_aab=\log_aa+\log_ab=1+\log_ab\)

Ví dụ 9 : Chứng minh : \(\log_n\left(n+1\right)>\log_{n+1}\left(n+2\right)\) với mọi số tự nhiên n > 1

Bài giải :

Vì :

 \(\log_n\left(n+1\right),\log_{n+1}\left(n+2\right)>0\) nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương này,

ta có \(\log_{n+1}n+\log_{n+1}\left(n+2\right)>2\sqrt{\log_{n+1}n.\log_{n+1}\left(n+2\right)}\)

Do đó : \(2=\log_{n+1}\left(n+1\right)^2>\log_{n+1}\left[\left(n+2\right)n\right]=\log_{n+1}\left(n+2\right)+\log_{n+1}n>2\sqrt{\log_{n+1}\left(n+2\right).\log_{n+1}n}\)

Suy ra :

\(\frac{\log_{n+1}\left(n+2\right)}{\log_{n+1}\left(n+1\right)}=\log_{n+1}\left(n+2\right).\log_{n+1}n< 1\)

\(\Leftrightarrow\log_{n+1}\left(n+2\right)< \log_n\left(n+1\right)\)

Dạng 2 : Tìm tập xác định và xét tính đơn điệu của hàm số :

1. Phương pháp giải : 

Tìm tập xác định ta dựa vào kết quả sau :

- Hàm số \(y=\log_af\left(x\right)\) xác định \(\Leftrightarrow f\left(x\right)>0\)

- Hàm số \(y=\log_{g\left(x\right)}f\left(x\right)\) xác định \(\Leftrightarrow\begin{cases}f\left(x\right)>0\\0< g\left(x\right)\ne1\end{cases}\)

- Hàm số \(y=\left(f\left(x\right)\right)^{g\left(x\right)}\) xác định \(\Leftrightarrow f\left(x\right)>0\)
 
Xét tính đơn điệu của hàm số ta tính đạo hàm và xét dấu của đạo hàm với lưu ý :
- Nếu \(f'\left(x\right)\ge0,x\in\left(a,b\right)\) thì hàm số đồng biến trên (a,b)
 
- Nếu \(f'\left(x\right)\le0,x\in\left(a,b\right)\) thì hàm số nghịch biến trên (a,b)
 
2. Ví dụ minh họa
 
Ví dụ 1 :
Tìm tập xác định của hàm số : \(y=\sqrt{-2x^2+8}+\ln\frac{1}{x^2-1}\)
Bài giải :
Điều kiện xác định : \(\begin{cases}-2x^2+8\ge0\\x^2-1>0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}-2\le x\le2\\\begin{cases}x< -1\\x>1\end{cases}\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x< x\le2\\-2\le x< -1\end{cases}\)
Vậy tập xác định : \(D=\)[-2;-1)\(\cup\) (1;2]
\(2y=xy'+\ln y'\)
 
Ví dụ 2 :
Tính đạo hàm hàm số sau :
\(y=\ln^2\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\)
Bài giải :
Ta có \(y'=2\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\frac{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)'}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{2\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\sqrt{x^2+1}}\)
 
Ví dụ 3 :
Chứng minh rằng hàm số :
 \(y=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+\ln\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}\) thỏa mãn hệ thức  \(2y=xy'+\ln y'\)
Bài giải :
Xét hàm số \(y=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+1}+\ln\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}\), theo công thức đạo hàm, ta tính được :
\(y'=x+\frac{1}{2}\sqrt{x^2+1}+\frac{x^2}{2\sqrt{x^2+1}}+\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{2\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}=x+\frac{2x^2+1}{2\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}=x+\sqrt{x^2+1}\)
Do đó ta có :
\(2y=x^2+x\sqrt{x^2+1}+\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right);\)
\(xy'=x^2+x\sqrt{x^2+1}\) và \(\ln y'=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\)
Từ đây, ta thấy rằng \(2y=xy'+\ln y'\) 
=> Điều cần chứng minh
 
Ví dụ 4 :
Xét tính đơn điệu của hàm số : \(y=\ln\left(x^3+2x^2+5x-8\right)\)
Bài giải :
Ta có \(x^3+2x^2+5x-8\ge0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2+3x+8\right)>0\)
                                                     \(\Leftrightarrow x>1\)
Do đó điều kiện xác định của hàm số đã cho là x > 1
Ta có : \(y'=\frac{\left(x^3+2x^2+5x-8\right)'}{x^3+2x^2+5x-8}=\frac{3x^2+4x+5}{\left(x-1\right)\left(x^2+3x+8\right)}>0;x>1\)
Suy ra tập xác định : \(D=\left(1;+\infty\right)\)

 

 

 

                          

 

 

 

 

 

Hỏi đáp

Câu 5 (Gửi bởi Hòa Phạm)
Trả lời
4
Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...