Biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, hậ bậc, nâng cung

I. Biến đổi tổng thành tích

1) Công thức:

    \(\sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}\)   (sin + sin = 2 sin cos)

    \(\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}\)   (sin - sin = 2 cos sin)

   \(\cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}\)   (cos + cos = 2 cos cos)

   \(\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}\)  (cos - cos = -2 sin sin)

2) Các ví dụ

   Ví dụ 1: ĐH-2012D: Giải phương trình:

      \(\sin3x+\cos3x-\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos2x\)

    Giải

      \(\Leftrightarrow\left(\sin3x-\sin x\right)+\left(\cos3x+\cos x\right)=\sqrt{2}\cos2x\)

      \(\Leftrightarrow2\cos2x\sin x+2\cos2x\cos x=\sqrt{2}\cos2x\)

       \(\Leftrightarrow\cos2x\left(2\sin x+2\cos x-\sqrt{2}\right)=0\)

      TH1: \(\cos2x=0\Leftrightarrow2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\)

      TH2: \(2\sin x+2\cos x=\sqrt{2}\Leftrightarrow\sin x+\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

               \(\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}=\sin\frac{\pi}{6}\)

               \(x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{6}+2l\pi\)   hoặc \(x+\frac{\pi}{4}=\pi-\frac{\pi}{6}+2m\pi\)

               \(x=\frac{-\pi}{12}+2l\pi\)   hoặc \(x=\frac{7\pi}{12}+2m\pi\)

       ĐS: phương trình có 3 họ nghiệm 

II. Biến đổi tích thành tổng:

1) Công thức:

     \(\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos\left(a+b\right)+\cos\left(a-b\right)\right]\)

     \(\sin a\sin b=-\frac{1}{2}\left[\cos\left(a+b\right)-\cos\left(a-b\right)\right]\)

    \(\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin\left(a+b\right)+\sin\left(a-b\right)\right]\)

   \(\cos a\sin b=\frac{1}{2}\left[\sin\left(a+b\right)-\sin\left(a-b\right)\right]\)

2) Các ví dụ

Ví dụ 1: ĐH-2005D: Giải phương trình

       \(\cos^4x+\sin^4x+\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)-\frac{3}{2}=0\)

  Giải:

     \(\cos^4x+\sin^4x+2\sin^2x\cos^2x-2\sin^2x\cos^2x+\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)-\frac{3}{2}=0\)

    \(\left(\cos^2x+\sin^2x\right)^2-2\left(\frac{1}{2}\sin2x\right)^2+\frac{1}{2}\left[\sin\left(4x-\frac{\pi}{2}\right)+\sin2x\right]-\frac{3}{2}=0\)

      \(1-\frac{1}{2}\sin^22x+\frac{1}{2}\left[-\cos4x+\sin2x\right]-\frac{3}{2}=0\)

     \(1-\frac{1}{4}\left(1-\cos4x\right)-\frac{1}{2}\cos4x+\frac{1}{2}\sin2x-\frac{3}{2}=0\)

     \(-\cos4x+2\sin2x-3=0\)

     \(-\left(1-2\sin^22x\right)+2\sin2x-3=0\)

     \(2\sin^22x+2\sin2x-4=0\)

      \(\sin^22x+\sin2x-2=0\)

     \(\sin2x=1\) hoặc \(\sin2x=-2\) (loại)

     \(x=\frac{\pi}{4}+k\pi\)

III. Biến đổi hạ bậc, nâng cung:

1) Công thức

      \(\sin^2a=\frac{1-\cos2a}{2}\)

     \(\cos^2a=\frac{1+\cos2a}{2}\)

2) Ví dụ

   Ví dụ 1: ĐH-2002B: Giải phương trình

      \(\sin^23x-\cos^24x=\sin^25x-\cos^26x\)

   Giải:

     \(\frac{1-\cos6x}{2}-\frac{1+\cos8x}{2}=\frac{1-\cos10x}{2}-\frac{1+\cos12x}{2}\)

     \(\cos8x+\cos6x=\cos12x+\cos10x\)

     \(2\cos7x\cos x=2\cos11x\cos x\)

    \(\cos x\left(\cos7x-\cos11x\right)=0\)

   \(\cos x=0\) hoặc \(\cos7x=\cos11x\)

   \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) hoặc \(x=\frac{l\pi}{2}\) hoặc \(x=\frac{m\pi}{9}\)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Phương trình lượng giác trong các đề thi đại học

 Biến đổi lượng giác và hệ thức lượng

Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình lượng giác

Tìm max, min bằng phương pháp lượng giác hóa

Hỏi đáp

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...