Bài 2: Cho △ABC vuông tại A (AB<AC). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC qua I vẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N.
a) Tứ giác AMIN là hình gì ? Vì sao ?
b) Gọi D là điểm đối xứng với I qua N. C/m: Tứ giác AICD là hình thoi.
c) Đường thẳng BN cắt DC tại K. C/m: \(\dfrac{DK}{DC}=\dfrac{1}{3}\)
Bài giải:
a) Xét tứ giác AMIN có:
góc INA = 90 độ (vì IN ⊥ AN)
góc IMA = 90 độ (vì IM ⊥ AM)
góc NAM = 90 độ (vì AM ⊥ NA)
=> Tứ giác AMIN là hình chữ nhật (dhnb)
b) Ta có:
AB ⊥ AC (vì góc A = 90 độ)
NI ⊥ AC (gt)
=> AB // NI
Mà IB = IC (gt)
=> NA = NC (định lí 1)
Xét tứ giác AICD có:
AC Ω DI ={N}
Mà NA = NC (cmt)
ND = NI (vì I và D đối xứng với nhau qua N)
=> Tứ giác AICD là hình bình hành
Ta có: I là trung điểm của BC
=> AI là đường trung tuyến của ΔABC
=> AI = \(\dfrac{1}{2}\) BC (t/c)
=> IA = IC
=> Tứ giác AICD là hình thoi (dhnb)
c) Ta có:
IB = IC (vì I là trung điểm của BC) (1)
Lại có:
IA // DC (t/c)
Gọi AI Ω BK ={H}
Mà H ∈ AI, K ∈ DC
=> HI //KC (2)
Từ (1) và (2) => H là trung điểm của BK (định lí)
=> HB = HK
Vì IB = IC (gt)
HB = HK (cmt)
=> HI là đường trung bình ΔBKC (định lí)
=> HI = \(\dfrac{1}{2}\)CK
Xét ΔINH và ΔDNK có:
góc I1 = góc D1 (slt)
IN = ND (cmt)
góc INH = góc DNH (đối đỉnh)
=> ΔINH = ΔDNK (g.c.g)
=> HI = DK (hai cạnh tương ứng)
Mà HI = \(\dfrac{1}{2}\)CK
=> DK = \(\dfrac{1}{2}\)CK
=> DK = 2.DK
Mà DK + CK = DC
=> DK + 2DK = DC
=> 3DK = DC
=> \(\dfrac{DK}{DC}=\dfrac{1}{3}\) (đpcm)
P/s: Bạn tự vẽ hình + tự viết giả thiết, kết luận.