Chương 1: VECTƠ

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}\)

Do đó: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD}\)

=>\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}\)

Câu 1:

\(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{O}\)

\(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)

\(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CM}\)

=> M là điểm tứ tư của h.b.b ABCM

Câu 2: 

\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}\)

\(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)

=> M trùng C

a: Gọi M là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

G là trọng tâm

M là trung điểm của AB

Do đó: CG=2/3CM

=>CG=2GM

=>\(\overrightarrow{CG}=2\overrightarrow{GM}\)

\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\)

\(=2\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GC}\)

\(=\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

b: \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\)

\(=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\)

\(=3\cdot\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\)

\(=3\cdot\overrightarrow{MG}\)

a: \(c=\overrightarrow{a}\cdot k+\overrightarrow{b}\cdot m\)

=>\(c=\left(-2k+4m;3k+m\right)\)

\(\overrightarrow{c}\perp\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)

\(\overrightarrow{c}=\left(-2k+4m;3k+m\right);\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(2;4\right)\)

Do đó: \(2\left(-2k+4m\right)+4\left(3k+m\right)=0\)

=>\(-4k+8m+12k+4m=0\)

=>8k+12m=0

=>2k+3m=0

=>\(k=-\dfrac{3m}{2}\)

b: Gọi tọa độ của vecto d là (x,y)

\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d}=4\)

=>\(-2x+3y=4\)(1)

\(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}=-2\)

=>\(4x+y=-2\)(2)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}-2x+3y=4\\4x+y=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4x+6y=8\\4x+y=-2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}7y=6\\4x+y=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{6}{7}\\4x=-2-y=-\dfrac{20}{7}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{5}{7}\\y=\dfrac{6}{7}\end{matrix}\right.\)

\(A\left(4\sqrt[]{3};-1\right);B\left(0;3\right);C\left(8\sqrt[]{3};3\right)\)

a) Gọi \(D\left(x;y\right)\)

Để ABCD là hình bình hành

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\\\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\end{matrix}\right.\left(1\right)\)

mà \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-4\sqrt[]{3};4\right)\\\overrightarrow{DC}=\left(8\sqrt[]{3}-x;3-y\right)\\\overrightarrow{AD}=\left(x-4\sqrt[]{3};y+1\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(8\sqrt[]{3};0\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x-8\sqrt[]{3}}{4\sqrt[]{3}}=\dfrac{3-y}{4}\\\dfrac{x-4\sqrt[]{3}}{8\sqrt[]{3}}=\dfrac{y+1}{0}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x=44\sqrt[]{3}-4\sqrt[]{3}.y\\8\sqrt[]{3}\left(y+1\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=11\sqrt[]{3}-\sqrt[]{3}.\left(-1\right)=12\sqrt[]{3}\\y=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow D\left(12\sqrt[]{3};-1\right)\)

b) \(\overrightarrow{AD}=\left(8\sqrt[]{3};0\right)\)

\(\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}=\left(-96;0\right)\)

\(\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=\left(192;0\right)\)

Lời giải:
a. Ta có:

\(\overrightarrow{AB}=(1,3), \overrightarrow{AC}=(9, -3)\)

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=1.9+3(-3)=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow ABC$ là tam giác vuông tại $A$.

b.

\(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=(-1, -3).(8, -6)=(-1).8+(-3)(-6)=10\)

Theo công thức cos 2 vecto:

\(\cos B=\frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|}=\frac{10}{\sqrt{(-1)^2+(-3)^2}.\sqrt{8^2+(-6)^2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\)

a: \(AB=\sqrt{\left(2-1\right)^2+\left(5-3\right)^2}=\sqrt{5}\)

\(AC=\sqrt{\left(4-1\right)^2+\left(-1-3\right)^2}=5\)

\(BC=\sqrt{\left(4-2\right)^2+\left(-1-5\right)^2}=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}\)

\(C=\sqrt{5}+5+2\sqrt{10}\)

b: Tọa độ trung điểm của AB là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+2}{2}=\dfrac{3}{2}\\y=\dfrac{3+5}{2}=4\end{matrix}\right.\)

Tọa độ trung điểm của AC là;

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+4}{2}=\dfrac{5}{2}\\y=\dfrac{3-1}{2}=1\end{matrix}\right.\)

c: tọa độ trọng tâm G là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+2+4}{3}=\dfrac{7}{3}\\y=\dfrac{3+5-1}{3}=\dfrac{7}{3}\end{matrix}\right.\)

d: ABCD là hình bình hành

=>vecto AB=vecto DC

vecto AB=(1;2)

vecto DC=(4-x;-1-y)

vecto AB=vecto DC

=>4-x=1 và -1-y=2

=>x=3 và y=-1-2=-3

a: \(AB=\sqrt{\left(2-4\right)^2+\left(4-1\right)^2}=\sqrt{13}\)

\(AC=\sqrt{\left(2-4\right)^2+\left(-2-1\right)^2}=\sqrt{13}\)

\(BC=\sqrt{\left(2-2\right)^2+\left(-2-4\right)^2}=6\)

\(C=\sqrt{13}+\sqrt{13}+6=6+2\sqrt{13}\)

b: ABCD là hình bình hành

=>vecto AB=vecto DC

=>2-x=2-4=-2 và -2-y=4-1=3

=>x=4 và y=-5

c: Tọa độ G là;

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4+2+2}{3}=\dfrac{8}{3}\\y=\dfrac{1+4-2}{3}=1\end{matrix}\right.\)

d:

vecto AH=(x-4;y-1); vecto BC=(0;-6)

vecto BH=(x-2;y-4); vecto AC=(-2;-3)

H là trực tâm

=>vecto AH*vecto BC=0 và vecto BH*vecto AC=0

=>(x-4)*0+(y-1)*(-6)=0 và (x-2)*(-2)+(y-4)*(-3)=0

=>y-1=0 và -2x+4-3y+12=0

=>y=1 và -2x-3y+16=0

=>y=1 và -2x=3y-16=-13

=>x=13/2 và y=1

e) Gọi \(I\left(x_I;y_I\right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AI^2=BI^2\\AI^2=CI^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_I-4\right)^2+\left(y_I-1\right)^2=\left(x_I-2\right)^2+\left(y_I-4\right)^2\\\left(x_I-4\right)^2+\left(y_I-1\right)^2=\left(x_I-2\right)^2+\left(y_I+2\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2_I-8x_I+16+y^2_I-2y_I+1=x^2_I-4x_I+4+y^2_I-8y_I+16\\x^2_I-8x_I+16+y^2_I-2y_I+1=x^2_I-4x_I+4+y^2_I-4y_I+4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x_I-6y_I=-3\\4x_I-2y_I=-9\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4y_I=-6\\4x_I-2y_I=-9\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_I=-3\\y_I=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(-3;-\dfrac{3}{2}\right)\)

a: \(\overrightarrow{AB}=\left(3;0\right);\overrightarrow{AC}=\left(0;-4\right)\)

Vì 0*0<>3*(-4)

nên A,B,C không thẳng hàng

=>Tồn tại tam giác ABC

b; \(AB=\sqrt{\left(2+1\right)^2+\left(1-1\right)^2}=3\)

\(AC=\sqrt{\left(-4\right)^2}=4\)

\(BC=\sqrt{\left(-1-2\right)^2+\left(-3-1\right)^2}=5\)

C=3+4+5=12

c: tọa độ G là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-1+2-1}{3}=0\\y=\dfrac{1+1-3}{3}=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

d: ABCD là hình bình hành

=>vecto AB=vecto DC

=>-1-x=3 và -3-y=0

=>x=-4 và y=-3

e: M thuộc Ox nên M(x;0)

\(MA^2=\left(x+1\right)^2+\left(0-1\right)^2=\left(x+1\right)^2+1\)

\(MB^2=\left(x-2\right)^2+\left(0-1\right)^2=\left(x-2\right)^2+1\)

M cách đều A,B

=>MA=MB

=>(x+1)^2+1=(x-2)^2+1

=>x^2+2x+1=x^2-4x+4

=>2x+1=-4x+4

=>6x=3

=>x=1/2

=>M(1/2;0)

f: N thuộc Oy nên N(0;x)

\(NB^2=\left(2-0\right)^2+\left(1-y\right)^2=\left(y-1\right)^2+4\)

\(NC^2=\left(0+1\right)^2+\left(y+3\right)^2=\left(y+3\right)^2+1\)

N cách đều B và C nên NB^2=NC^2

=>(y-1)^2+4=(y+3)^2+1

=>y^2-2y+1+4=y^2+6y+9+1

=>-2y+5=6y+10

=>-8y=5

=>y=-5/8