Chương 1:ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Chọn A

Cậu đặt ẩn phụ

 \(3^x=t=>t^2+t-2=0\\ < =>\left(t-1\right)\left(t+2\right)=0\\ < =>\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-2\end{matrix}\right.\\ < =>\left[{}\begin{matrix}3^x=1\\3^x=-2\left(L\right)\end{matrix}\right.\\ =>x=0\)

Chọn B

\(a^{\log_a2}=2\) theo công thức biến đổi logarit

Chọn A

\(\left(x+2\right)^{-3}\) có mũ nguyên âm nên TXĐ là \(x+2\ne0\Rightarrow x\ne-2\)

\(x^{\dfrac{1}{4}}\) có mũ không nguyên nên có TXĐ là \(x>0\)

A đúng

Chọn B

\(y'=\dfrac{-m^2-5}{\left(x-m\right)^2}< 0\) \(\Rightarrow\) hàm nghịch biến trên các khoảng xác định

\(\Rightarrow\) Hàm đạt min trên [0;1] bằng -7 khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< 0\end{matrix}\right.\\f\left(1\right)=-7\\\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< 0\end{matrix}\right.\\\dfrac{m+5}{1-m}=-7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=2\)

\(y'=\dfrac{14}{\left(x-2\right)^2}>0;\forall x\ne2\)

\(\Rightarrow\) Hàm đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;2\right)\) và \(\left(2;+\infty\right)\)

\(y'=3x^2+6x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Hàm đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\) và \(\left(0;+\infty\right)\)

Hàm nghịch biến trên \(\left(-2;0\right)\)

Chọn C

Căn cứ vào dạng đồ thị ($a>0$), ta thấy đây là hàm bậc 3 và có đạo hàm là \(f'\left(x\right)=3a\left(x+2\right)\left(x-1\right)\) (*).

\(\left(f\left(f^2\left(x\right)+1\right)\right)'=f'\left(f^2\left(x\right)+1\right).2f\left(x\right).f'\left(x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}f'\left(f^2\left(x\right)+1\right)=0\left(1\right)\\f\left(x\right)=0\left(2\right)\\f'\left(x\right)=0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Khảo sát (*), ta thấy khi $x \geq 1$ thì \(f'\left(x\right)\ge0\) , do đó với phương trình $(1)$, $f^2(x)+1 \geq 1$ nên $f'(f^2(x)+1) \geq 0$, dấu bằng xảy ra khi $f^2(x)+1=1$, tương đương với $f^2(x)=0$. Điều này ta không cần quan tâm đến, do nghiệm của phương trình này đều là nghiệm kép, và quan trọng hơn $f'(f^2(x)+1)$ mang dấu dương với mọi $x$.

Ở phương trình số (2), từ đồ thị đề bài cho ta thấy có 2 nghiệm mà giá trị của hàm số đi từ âm sang dương, do đó ta tìm được hai điểm cực tiểu.

Ở phương trình số (3), từ đồ thị của hàm $f(x)=(x+2)(x-1)$ , ta thấy $x=1$ giá trị của hàm số này đi từ âm sang dương, do đó ta tìm thêm được một điểm cực tiểu.

Vậy, hàm số đề cho có 3 điểm cực tiểu.

Theo công thức khoảng cách:

\(d\left(M;\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|2.\left(-1\right)-2.2+\left(-3\right)+5\right|}{\sqrt{2^2+\left(-2\right)^2+1}}=\dfrac{4}{3}\)

Công thức tính khoảng cách từ điểm $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ đến mặt phẳng $\alpha$ có phương trình $A x+B y+C z+D=0$ là $d\left(M_0, \alpha\right)=\dfrac{\left|A x_0+B y_0+C z_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.