\(a.\) \(\overrightarrow{AB}=\left(0-3;5+1\right)=\left(-3;6\right).\\ \Rightarrow\overrightarrow{u_{AB}}=\left(-3;6\right).\)
Phương trình tham số của đường thẳng AB:
\(\left\{{}\begin{matrix}y=0+3t.\\y=5-6t.\end{matrix}\right.\)
\(b.\) \(\overrightarrow{AC}=\left(-6-3;2+1\right)=\left(-9;3\right).\\ \Rightarrow\overrightarrow{u_{AC}}=\left(-9;3\right).\)
Ta có: \(AC\perp BH.\)
\(\Rightarrow\) VTCP của AC là VTPT của BH.
\(\Rightarrow\overrightarrow{n_{BH}}=\left(-9;3\right).\)
Phương trình tổng quát của đường thẳng BH:
\(-9\left(x-0\right)+3\left(y-5\right)=0.\\ \Leftrightarrow-9x+3y-15=0.\)
a) Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, gọi I,J là trung điểm của AH, HC. Chứng minh BI vuông góc với AJ b) Tìm M thỏa mãn (vectơ MA+vectơ MB)(vectơ MA+vectơ MC)=0
Lời giải:
a. $I$ là trung điểm $AH$, $J$ là trung điểm $HC$ nên $IJ$ là đường trung bình ứng với cạnh $AC$ của tam giác $HAC$
$\Rightarrow IJ\parallel AC$ hay $IJ\perp AB$
Tam giác $BAJ$ có $AI\perp BJ, JI\perp AB$ nên $I$ là trực tâm tam giác
$\Rightarrow BI\perp AJ$
b. Gọi $T,K$ lần lượt là trung điểm $AB, AC$
\((\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC})=(\overrightarrow{MT}+\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{MT}+\overrightarrow{TB})(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KC})\)
\(=2\overrightarrow{MT}.2\overrightarrow{MK}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{MK}\perp \overrightarrow{MT}\)
Vậy $M$ nằm trên đường tròn đường kính $KT$
Trình bày hộ mình với
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
\(\Rightarrow T=\sum\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)^2=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2+2\overrightarrow{MG}\cdot\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=3MG^2+\dfrac{4}{9}\cdot\left(m_a^2+m_b^2+m_c^2\right)=3MG^2+\dfrac{4}{9}\cdot\left(\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}+\dfrac{2a^2+2c^2-b^2}{4}+\dfrac{2b^2+2a^2-c^2}{4}\right)\) = \(3MG^2+\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\) Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow M\equiv G\)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O;R). AC vuông góc với BD và AC cắt BD tại I. Gọi trung điểm của AB là M. Chứng minh rằng MI vuông góc với DC
M là trung điểm AB \(\Rightarrow\overrightarrow{IM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)\)
\(\Rightarrow2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{DC}=\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right).\left(\overrightarrow{DI}+\overrightarrow{IC}\right)=\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{DI}+\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{DI}\)
\(=\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{DI}=-IA.IC+IB.DI\)
Mặt khác do 2 tam giác vuông DIC và AIB đồng dạng (\(\widehat{IAB}=\widehat{IDC}\) cùng chắn BC)
\(\Rightarrow\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{IB}{IC}\Rightarrow IA.IC=IB.ID\Rightarrow-IA.IC+IB.ID=0\)
\(\Rightarrow2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{DC}=0\Rightarrow IM\perp DC\)
giúp em vs ạ
Gọi \(H\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AH}=\left(x+1;y-2\right)\\\overrightarrow{AB}=\left(-4;2\right)\\\overrightarrow{CH}=\left(x-2;y-4\right)\end{matrix}\right.\)
CH là đường cao hạ từ C \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}H\in AB\\CH\perp AB\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+1}{-4}=\dfrac{y-2}{2}\\-4\left(x-2\right)+2\left(y-4\right)=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{5}\\y=\dfrac{6}{5}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow H\left(\dfrac{3}{5};\dfrac{6}{5}\right)\)
cho ABC vuông tại A, biết vectoAB.vectoCB=4, vectoAC.vectoBC=9. Tính độ dài của AB,BC,AC
Cho tam giác ABC có A(2;1), B(-1;2), C(3;4)
a) Tìm toạ độ vecto AB và tính độ dài đoạn thẳng AB.
b) Tìm toạ độ điểm D sao cho \(3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}=0\)
a) \(\overrightarrow{AB}\)=(-1-2;2-1)
<=>\(\overrightarrow{AB}\)(-3;1)
b) ta có:
D(x;y)\(\left\{{}\begin{matrix}3\left(-3\right)-2\left(x-\left(-1\right)\right)+x-3=0\\3.1-2\left(y-2\right)+y-4=0\end{matrix}\right.\)
<=>\(\left\{{}\begin{matrix}-9-2x-2+x-3=0\\3-2y+4+y-4=0\end{matrix}\right.\)
<=>\(\left\{{}\begin{matrix}-x-14=0\\-y+3=0\end{matrix}\right.\)
<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-14\\y=3\end{matrix}\right.\)
vậy D(-14;3)
cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3. I là trung điểm AB. Tích vecto BI.CA
Cho tam giác ABC đều cạnh a. M và N là các điểm sao cho 3\(\overrightarrow{BM}\)= 2\(\overrightarrow{BC}\), 5\(\overrightarrow{AN}\) = 4\(\overrightarrow{AC}\)
a, tính \(\overrightarrow{AB}\).\(\overrightarrow{AC}\); \(\overrightarrow{BC}\).\(\overrightarrow{AC}\)
b, cm AM vuông góc BN