Xét khối tam giác đều đáy cạnh a cạnh bên bằng 2 lần chiều cao tam giác. Tính thể tích
Xét khối tam giác đều đáy cạnh a cạnh bên bằng 2 lần chiều cao tam giác. Tính thể tích
cho hình chóp tứ giác đều s.abcd có cạnh bên bằng \(a\sqrt{3}\)và góc hợp bởi mặt bên và mặt đáy là 45 độ tính thể tích
Cho tứ diện ABCD có thể tích là V. Gọi A', B', C', D' lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Tính thể tích khối tứ diện A'B'C'D' theo V.
Tính thể tích lăng trụ đứng ABC.A'B'C' cân tại a có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,BC =a√2 , C'B hợp với đáy một góc 60°
1.cho tứ diện ABCD,AB=x, các cạnh còn lại=\(2\sqrt{3}\) tìm x để \(V_{ABCD}\)max
2.ho hc S.ABCD, đyá là hv cạnh a , SA vuông đáy, d(A,(SBC))=\(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\) tính \(V_{SABCD}\)
1.
Gọi $I$ là trung điểm $AB$ thì do tam giác $DAB$ và $CAB$ cân tại $D$ và $C$ nên:
$DI\perp AB; CI\perp AB$
$\Rightarrow (DCI)\perp AB$
$\Rightarrow (DCI)\perp AI$ và $(DCI)\perp BI$
Do đó:
\(V_{ABCD}=V_{DAIC}+V_{DIBC}=\frac{1}{3}AI.S_{DIC}+\frac{1}{3}BI.S_{DIC}\)
\(=\frac{1}{3}S_{DIC}(AI+BI)=\frac{1}{3}S_{DIC}.AB=\frac{x}{3}S_{DIC}\)
\(DI=\sqrt{DA^2-AI^2}=\sqrt{DA^2-(\frac{AB}{2})^2}=\sqrt{12-\frac{x^2}{4}}\)
\(CI=\sqrt{AC^2-AI^2}=\sqrt{AC^2-(\frac{AB}{2})^2}=\sqrt{12-\frac{x^2}{4}}\)
$\Rightarrow DCI$ là tam giác cân tại $I$
Kẻ $IM\perp DC$ thì $M$ là trung điểm $DC$
$IM=\sqrt{DI^2-DM^2}=\sqrt{12-\frac{x^2}{4}-(\sqrt{3})^2}$
$=\sqrt{9-\frac{x^2}{4}}$
\(S_{DIC}=\frac{IM.DC}{2}=\sqrt{9-\frac{x^2}{4}}.2\sqrt{3}:2=\frac{\sqrt{3}.\sqrt{36-x^2}}{2}\)
Vậy: \(V_{ABCD}=\frac{\sqrt{3}}{6}x\sqrt{36-x^2}=\frac{\sqrt{3}}{6}\sqrt{x^2(36-x^2)}\)
\(\leq \frac{\sqrt{3}}{6}.\frac{x^2+36-x^2}{2}=3\sqrt{3}\) theo BĐT Cô-si
Vậy $V_{ABCD}$ max bằng $3\sqrt{3}$ khi $x^2=36-x^2$
$\Leftrightarrow x=3\sqrt{2}$
Bài 2:
Kẻ $AT\perp $SB$
Ta có:
$SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp BC$
$AB\perp BC$ (do $ABCD$ là hình vuông)
$\Rightarrow (SAB)\perp BC$
$\Rightarrow AT\perp BC$ (vì \(AT\subset (SAB)\) )
Mà: $AT\perp SB$
$\Rightarrow AT\perp (SBC)$
$\Rightarrow AT=d(A, (SBC))=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
$\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AT^2}$ theo hệ thức lượng
$\Leftrightarrow \frac{1}{SA^2}=\frac{1}{AT^2}-\frac{1}{AB^2}=\frac{2}{a^2}+\frac{1}{a^2}$
$\Rightarrow SA=\frac{\sqrt{3}a}{3}$
$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{3}.a^2=\frac{\sqrt{3}}{9}a^3$
cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' đáy là tam giác vuông cân tại A cạnh AA'=2a, AB=a,AC=3a. M,N là tđ của AB,AC. tính d(A'(MNB'C'))
cho hc S.ABCD đáy là hcn, SA vuông đáy, SA=AD=a,AB=2a
a) M bất kì thuộc AB. tính\(V_{SDCM}\)
b) M thuộc AB sao cho (SDM) tạo với đáy góc 60 độ. tính \(V_{SADM}\) VÀ D(A,(SDM))
Kẻ \(MH\perp CD\Rightarrow AMHD\) là hcn
\(\Rightarrow MH=AD=a\)
\(V_{SDCM}=\dfrac{1}{3}SA.S_{MCD}=\dfrac{1}{3}SA.\dfrac{1}{2}MH.CD=\dfrac{1}{6}.a.a.2a=\dfrac{a^3}{3}\)
b.
Trong tam giác vuông DAM, kẻ \(AE\perp DM\Rightarrow DM\perp\left(SAE\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{SEA}\) là góc giữa (SDM) và đáy hay \(\widehat{SEA}=60^0\)
\(\Rightarrow AE=\dfrac{SA}{tan60^0}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)
Áp dụng hệ thức lượng:
\(\dfrac{1}{AE^2}=\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AD^2}\Rightarrow AM=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow V_{SADM}=\dfrac{1}{3}AM.\dfrac{1}{2}SA.AD=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}\)
Kẻ \(AF\perp SE\Rightarrow AF\perp\left(SDM\right)\Rightarrow AF=d\left(A;\left(SDM\right)\right)\)
\(\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AE^2}\Rightarrow AF=\dfrac{a}{2}\)
cho hc S.ABC, SA vuông đáy , ABC vuông tại B,SA=AB=BC=a ,M,N là tđ SA,SB. tính \(\dfrac{V_{SMNC}}{V_{ABCMN}}\)
2. cho hc S.ABC, SA vuông đáy, ABC vuông tại B,SA=\(a\sqrt{2}\), AB=a,bc=\(a\sqrt{3}\), M,N là tđ SB,SC. Tính \(V_{SABC}\) và \(V_{AMNCB}\)
b) d(A,(AMN))
cho hc S.ABC, SA vuông với đáy, ABC vuông tại A,SA=\(a\sqrt{3}\) , AB=AC=a, M là tđ SB. tính \(V_{SABC}\) và \(V_{SAMC}\) b) tính d(S,(AMC))
\(V_{SABC}=\dfrac{1}{3}SA.\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{6}\)
\(S_{SAM}=\dfrac{1}{2}S_{SAB}\Rightarrow V_{SAMC}=\dfrac{1}{2}V_{SABC}=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{12}\)
Tam giác SAB vuông tại A nên AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền
\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}SB=\dfrac{1}{2}\sqrt{SA^2+AB^2}=a\)
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp AC\\AC\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow AC\perp AM\)
Hay tam giác ACM vuông tại M
\(\Rightarrow S_{AMC}=\dfrac{1}{2}AM.AC=\dfrac{a^2}{2}\)
\(\Rightarrow d\left(S;\left(AMC\right)\right)=\dfrac{3V_{SAMC}}{S_{AMC}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)