Question

Cho đường tròn đường kính AB. Qua C thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến d với đường tròn. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A,B đến d và H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. CMR:

a) AC là đường phân giác của góc BAE
b) \(CH^2=BF.AE\)

Answer 1

a) VÌ: \(OC\perp EF\left(gt\right)\)

\(AE\perp EF\left(gt\right)\)

=> OC//AE

=> \(\widehat{EAC}=\widehat{OCA}\) ( cặp góc sole trong) (1)
Vì: OC=OA(gt)

=> ΔOAC cân tại O

=> \(\widehat{OCA}=\widehat{OAC}\) (2)

Từ (1);(2) suy ra:

\(\widehat{EAC}=\widehat{OAC}\)

=>AC là tia pg của \(\widehat{BAE}\)

b)Chứng minh tương tự như câu a ta có: \(\widehat{OBC}=\widehat{FBC}\)

Xét ΔAEC và ΔAHC có:

\(\widehat{AEC}=\widehat{AHC}=90^o\)

AC:cạnh chung

\(\widehat{EAC}=\widehat{HAC}\left(cmt\right)\)

=>ΔAEC=ΔAHC ( cạnh huyền -góc nhọn)

=>AE=AH

Xét ΔCHB và ΔCFB có:

\(\widehat{CHB}=\widehat{CFB}=90^o\)

BC:cạnh chung

\(\widehat{HBC}=\widehat{FBC}\left(cmt\right)\)

=> ΔCHB=ΔCFB(ch-gn)

=> BF=HB

Xét ΔABC có: OA=OB=OC

=> ΔABC cân tại C

=> \(CH^2=AH\cdot BH\)

Hay: \(CH^2=AE\cdot BF\)