Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

\(\left\{{}\begin{matrix}x^3-8x=y^3+2y\left(1\right)\\x^2-3=3\left(y^2+1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3-y^3=8x+2y\\x^2-3y^2=6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow6\left(x^3-y^3\right)=\left(x^2-3y^2\right)\left(8x+2y\right)\)

\(\Leftrightarrow6x^3-6y^3=8x^3-24xy^2+2x^2y-6y^3\)

\(\Leftrightarrow2x^3-24xy^2+2x^2y=0\)

\(\Leftrightarrow2x\left(x-3y\right)\left(x+4y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=3y\\x=-4y\end{matrix}\right.\)

TH1: \(x=0\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow y^3+2y=0\)

\(\Leftrightarrow y=0\)

TH2: \(x=3y\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow27y^3-24y=y^3+2y\)

\(\Leftrightarrow26y^3-26y=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Với \(y=0\Rightarrow x=0\)

Với \(y=1\Rightarrow x=3\)

Với \(x=-1\Rightarrow y=-3\)

TH3: \(x=-4y\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow-64y^3+32y=y^3+2y\)

\(\Leftrightarrow65y^3-30y=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=\pm\dfrac{\sqrt{78}}{13}\end{matrix}\right.\)

Với \(x=0\Rightarrow y=0\)

Với \(x=\dfrac{\sqrt{78}}{13}\Rightarrow y=-\dfrac{4\sqrt{78}}{13}\)

Với \(x=-\dfrac{\sqrt{78}}{13}\Rightarrow y=\dfrac{4\sqrt{78}}{13}\)

Đến đây thử lại rồi kết luận

\(x>2\Rightarrow2x-4-x-1=4x-3\text{ tương đương với: }x-5=4x-3\text{ hay: }-2=3x\text{ nên: }x< 0\text{ vô lí}\)

\(-1\le x\le2\Rightarrow4-2x-x-1=4x-3\text{ tương đương: }3-3x=4x-3\text{ suy ra: }x=\dfrac{6}{7}\left(\text{thỏa}\right)\)

\(x< -1\text{ thì: }4-2x+x+1=4x-3\text{ nên:}5-x=4x-3\text{ hay: }x=\dfrac{5}{8}\left(loại\right)\)

vậy: x=6/7

+) Với \(x< -1\):

PT \(\Rightarrow4-2x+x+1=4x-3\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{8}{5}\)  (loại)

+) Với \(-1\le x\le2\):

PT \(\Rightarrow4-2x-x-1=4x-3\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{6}{7}\)  (thỏa mãn)

+) Với \(x>2\):

PT \(\Rightarrow2x-4-x-1=4x-3\) \(\Leftrightarrow x=-\dfrac{2}{3}\)  (loại)

  Vậy \(x=\dfrac{6}{7}\)

Tham khảo:

- Với \(x\ge0\Rightarrow x^2+x+m=1\)

\(\Leftrightarrow-x^2-x+1=m\)

Xét \(f\left(x\right)=-x^2-x+1\) khi \(x\ge0\)

\(a=-1< 0;-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2}< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) nghịch biến

- Với \(x< 0\) \(\Rightarrow-x^2-x+m=1\Leftrightarrow x^2+x+1=m\)

Xét \(g\left(x\right)=x^2+x+1\) khi \(x< 0\)

\(a=1>0;-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2};f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{3}{4}\) 

Hàm nghịch biến khi \(x< -\dfrac{1}{2}\) và đồng biến khi \(-\dfrac{1}{2}< x< 0\)

Do đó ta có BBT như sau:

Từ BBT ta thấy pt có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(m=1\)

(Với \(m=-\dfrac{3}{4}\) pt cũng có 2 nghiệm nhưng 1 trong 2 nghiệm là nghiệm kép)

ĐK: \(x\ne-5\)

\(x^2+\dfrac{25x^2}{\left(x+5\right)^2}=11\)

\(\Leftrightarrow x^2+\dfrac{25x^2}{\left(x+5\right)^2}-\dfrac{10x^2}{x+5}+\dfrac{10x^2}{x+5}=11\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{5x}{x+5}\right)^2+\dfrac{10x^2}{x+5}=11\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^4}{\left(x+5\right)^2}+\dfrac{10x^2}{x+5}=11\)

\(\Leftrightarrow y^2+10y-11=0\left(y=\dfrac{x^2}{x+5}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=-11\end{matrix}\right.\)

TH1: \(y=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{x+5}=1\)

\(\Leftrightarrow x^2=x+5\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1\pm\sqrt{21}}{2}\left(tm\right)\)

TH2: \(y=-11\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{x+5}=-11\)

\(\Leftrightarrow x^2=-11x-55\)

\(\Rightarrow\) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x=\dfrac{1\pm\sqrt{21}}{2}\)

- Ta có đồ thị hàm số :

- Theo đồ thị hàm số : Min = 0 tại x = 0 .

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x+1< 0\\2x+\sqrt{6x^2+1}\ge0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x+1\ge0\\2x+\sqrt{6x^2+1}>\left(x+1\right)^2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x< -1\\\sqrt{6x^2+1}\ge-2x\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\2x+\sqrt{6x^2+1}>x^2+2x+1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x< -1\\6x^2+1\ge4x^2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\\sqrt{6x^2+1}>x^2+1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x< -1\\2x^2+1\ge0\left(\text{luôn đúng}\right)\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\6x^2+1>x^4+2x^2+1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x< -1\\\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\x^4-4x^2< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x< -1\\\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\-2< x< 2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x< -1\\-1\le x< 2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x< 2\)

ĐKXĐ: ...

\(y\sqrt{x^2-y^2}=12>0\Rightarrow y>0\)

\(y+\sqrt{x^2-y^2}=12-x\left(x\le12\right)\)

\(\Leftrightarrow y^2+x^2-y^2+2y\sqrt{x^2-y^2}=x^2-24x+144\)

\(\Leftrightarrow y\sqrt{x^2-y^2}=-12x+72\)

\(\Rightarrow-12x+72=12\Rightarrow x=5\)

\(\Rightarrow y\sqrt{25-y^2}=12\Rightarrow y...\) (bình phương 2 vế giải pt trùng phương)

đặt \(\sqrt{x+y}=a,\sqrt{x-y}=b\) ta có hệ phương trình sau \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+ab=12\\\left(a^2-b^2\right)ab=12\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a^2+ab-ab\left(a^2-b^2\right)=0\) \(\Leftrightarrow a\left(a+b\right)-\left(a+b\right)\left(a-b\right)ab=0\) \(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-a^2b+ab^2\right)=0\)