Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Lời giải:

Gọi trung điểm $AC$ là $M$.
Theo định lý cos:

$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$. Mà theo đề thì $a=2c$ nên:

$\frac{-1}{2}=\cos 120^0=\frac{5c^2-b^2}{4c^2}$

$\Rightarrow b^2=7c^2$

Theo định lý đường trung tuyến:

$BM^2=\frac{c^2+a^2}{2}-\frac{b^2}{4}=\frac{c^2+4c^2}{2}-\frac{7c^2}{4}=\frac{3}{4}c^2$

$AM^2=(\frac{b}{2})^2=\frac{7}{4}c^2$

Từ những số tính toán ở trên suy ra:

$c^2+\frac{3}{4}c^2=\frac{7}{4}c^2\Leftrightarrow AB^2+BM^2=AM^2$ nên theo định lý Pitago đảo thì $ABM$ vuông tại $B$

$\Rightarrow \overrightarrow{u_{AB}}=\overrightarrow{n_{BM}}=(1,1)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{AB}}=(1,-1)$

PTĐT $AB$: $(x-3)-(y-1)=0\Leftrightarrow x-y-2=0$

$B$ vừa thuộc đt $x+y-2=0$ vừa thuộc ĐT $x-y-2=0$ nên dễ tính $B(2,0)$
---------------------

Gọi tọa độ $C$ là $(t,t')$ thì tọa độ $M$ là $(\frac{3+t}{2}; \frac{t'+1}{2})$

Vì $M\in (x+y-2=0)$ nên: $\frac{3+t}{2}+\frac{t'+1}{2}=0\Leftrightarrow t'=-t$

Theo đề:

$a=2c\Leftrightarrow a^2=4c^2\Leftrightarrow (t-2)^2+(-t)^2=4[(3-2)^2+(1-0)^2]$

$\Leftrightarrow t=1\pm\sqrt{3}$

Vậy............

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+2y^2=3\\x+y=m+1\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left[\left(m+1\right)-y\right]^2+2y^2=3\\x=\left(m+1\right)-y\end{matrix}\right.\)  <=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m+1\right)^2-2\left(m+1\right)y+y^2+2y^2=3\left(1\right)\\x=\left(m+1\right)-y\end{matrix}\right.\)

Hệ PT có nghiệm duy nhất <=> (1) có nghiệm duy nhất <=>\(\Delta'=0\) 

<=> \(\left(m+1\right)^2-3\left[\left(m+1\right)^2-3\right]=0\)

<=> \(9-2\left(m+1\right)^2=0\)

<=> \(\left(m+1\right)^2=\dfrac{9}{2}\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}m+1=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\\m+1=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\) <=> \(\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{3\sqrt{2}-2}{2}\\m=\dfrac{-3\sqrt{2}-2}{2}\end{matrix}\right.\)

Bài 2. 

ĐK: $x\geq \frac{-11}{2}$

$x+\sqrt{2x+11}=0\Leftrightarrow x=-\sqrt{2x+11}$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 0\\ x^2=2x+11\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 0\\ x^2-2x-11=0(*)\end{matrix}\right.\)

\(\Delta'(*)=12\)

\(\Rightarrow x=1\pm \sqrt{12}=1\pm 2\sqrt{3}\). Với điều kiện của $x$ suy ra $x=1-2\sqrt{3}$

$\Rightarrow a=1; b=-2\Rightarrow ab=-2$

Bài 1. 

Đặt $x^2+2x=t$ thì PT ban đầu trở thành:

$t^2-t-m=0(1)$

Để PT ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì:

Trước tiên PT(1) cần có 2 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi $\Delta (1)=1+4m>0\Leftrightarrow m> \frac{-1}{4}(*)$

Với mỗi nghiệm $t$ tìm được, thì PT $x^2+2x-t=0(2)$ cần có 2 nghiệm $x$ phân biệt. 

Điều này xảy ra khi $\Delta '(2)=1+t>0\Leftrightarrow t>-1$

Vậy ta cần tìm điều kiện của $m$ để (1) có hai nghiệm $t$ phân biệt đều lớn hơn $-1$

Điều này xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} (t_1+1)(t_2+1)>0\\ t_1+t_2+2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t_1t_2+t_1+t_2+1>0\\ t_1+t_2+2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -m+1+1>0\\ 1+2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< 2(**)\)

Từ $(*); (**)\Rightarrow \frac{-1}{4}< m< 2$

b) 

Để pt ban đầu vô nghiệm thì PT(1) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm $t$ đều nhỏ hơn $-1$

PT(1) vô nghiệm khi mà $\Delta (1)=4m+1<0\Leftrightarrow m< \frac{-1}{4}$

Nếu PT(1) có nghiệm thì $t_1+t_2=1>-2$ nên 2 nghiệm $t$ không thể cùng nhỏ hơn $-1$

Vậy PT ban đầu vô nghiệm thì $m< \frac{-1}{4}$

c) Để PT ban đầu có nghiệm duy nhất thì:

\(\left\{\begin{matrix} \Delta (1)=1+4m=0\\ \Delta' (2)=1+t=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=-\frac{1}{4}\\ t=-1\end{matrix}\right.\).Mà với $m=-\frac{1}{4}$ thì $t=\frac{1}{2}$ nên hệ trên vô lý. Tức là không tồn tại $m$ để PT ban đầu có nghiệm duy nhất. 

d) 

Ngược lại phần b, $m\geq \frac{-1}{4}$

e) 

Để PT ban đầu có nghiệm kép thì PT $(2)$ có nghiệm kép. Điều này xảy ra khi $\Delta' (2)=1+t=0\Leftrightarrow t=-1$

$t=-1\Leftrightarrow m=(-1)^2-(-1)=2$

Câu a)

Có: \(\left\{\begin{matrix} (x+y)^2+3y^2=7\\ x+2y(x+1)=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+4y^2+2xy=7\\ x+2y=5-2xy\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+4y^2+2xy=7\\ x^2+4y^2+4xy=(5-2xy)^2\end{matrix}\right.\)

Lấy PT(2) trừ PT(1) thu được:

\(2xy=(5-2xy)^2-7\)

\(\Leftrightarrow 2(xy)^2-11xy+9=0\)

\(\Rightarrow xy=\frac{9}{2}\) hoặc \(xy=1\) hay \(\left[\begin{matrix} 2xy=9\\ 2xy=2\end{matrix}\right.\)

Nếu \(2xy=9\Rightarrow x+2y=5-2xy=-4\)

Theo định lý Viete đảo thì $x,2y$ là nghiệm của PT:

\(X^2+4X+9=0\)\(\Leftrightarrow (X+2)^2+5=0\) (vl)

Nếu \(2xy=2\Rightarrow x+2y=5-2xy=3\)

Theo định lý Viete đảo thì $x,2y$ là nghiệm của PT:

\(X^2-3X+2=0\Rightarrow (x,2y)=(2,1); (1,2)\)

\(\Rightarrow (x,y)=(2,\frac{1}{2}); (1; 1)\)

Câu b:

\(\left\{\begin{matrix} x(y-1)+2y=x(x+1)(1)\\ \sqrt{2x-1}+xy-3y+1=0(2)\end{matrix}\right.\)

Từ \((1)\Leftrightarrow y(x+2)=x(x+1)+x\)

\(\Leftrightarrow y(x+2)=x(x+2)\Leftrightarrow (x+2)(y-x)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=-2\\ x=y\end{matrix}\right.\)

Nếu \(x=-2\) thay vào (2) thấy ngay vô lý vì ĐKXĐ là \(x\geq \frac{1}{2}\)

Nếu \(x=y\), thay vào (2): \(\sqrt{2x-1}+x^2-3x+1=0\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{2x-1}-x)+(x^2-2x+1)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{2x-1-x^2}{\sqrt{2x-1}+x}+(x-1)^2=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)^2\left[1-\frac{1}{\sqrt{2x-1}+x}\right]=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=1\\ \sqrt{2x-1}+x=1\end{matrix}\right.\)

Với trường hợp \(\sqrt{2x-1}+x=1(x\leq 1)\Rightarrow \sqrt{2x-1}=1-x\)

\(\Rightarrow 2x-1=(1-x)^2=x^2-2x+1\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+2=0\Rightarrow x=2\pm \sqrt{2}\). Vì \(\frac{1}{2}\leq x\leq 1\Rightarrow x=2-\sqrt{2}\)

Vậy \((x,y)=(1,1); (2-\sqrt{2}; 2-\sqrt{2})\)

tao chào mẹ mày

Gọi quãng đường từ nhà An đến nhà Bình là :x(km)

Quãng đường An đã đi là 2x

Quãng đường Bình đã đi là \(2x:4=\dfrac{x}{2}\)

Gọi C là chỗ 2 người gặp nhau thì \(BC=\dfrac{x}{2}:2=\dfrac{x}{4}\)

Quãng đường AC là :\(x-\dfrac{x}{4}=\dfrac{3x}{4}\)

Thời gian An đi trên đoạn AC là :\(\dfrac{3x}{4}:4=\dfrac{3x}{16}\left(h\right)\)

Thời gian Bình đi trên đoạn BC là :\(\dfrac{x}{4}:3=\dfrac{x}{12}\left(h\right)\)

Có 20 phút =\(\dfrac{1}{3}\left(h\right)\)

Ta có phương trình :

\(\dfrac{3x}{16}-\dfrac{x}{12}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow9x-4x=16\)

\(\Leftrightarrow5x=16\)

\(\Leftrightarrow x=3,2\left(tmđk\right)\)

Vậy quãng đường từ nhà An đến nhà Bình là 3,2km

Anh nhớ em ko?

Đừng giận em nữa mà!!!

Em xin lỗi!!!

Uk. Đừng giận e nó nữa Hùng à :D

\(DK:x>=0\)

\(Đat:t=\sqrt{2x+1}+\sqrt{x}\left(t>=0\right)\)

\(\Leftrightarrow t^2=3x+1+2\sqrt{2x^2+x}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{3}\sqrt{2x^2+x}=\dfrac{2}{3}t^2-2x-\dfrac{2}{3}\)

Phương Trình đề bài \(\Leftrightarrow t-2x+11=\dfrac{2}{3}t^2-2x-\dfrac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow2t^2-3t-35=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=5\left(N\right)\\t=-\dfrac{7}{2}\left(L\right)\end{matrix}\right.\)

Thay t=5 vào chỗ đặt ý rồi giải phương trình tìm x . Kết luận

Để phương trình có ít nhất một nghiệm thì:

\(\Delta=\left(2p-1\right)^2-4\cdot3\cdot\left(p^2-6p+11\right)\ge0\)

=\(-8p^2+68p-131\) (1)

Giải pt (1) ta được:

\(p=\dfrac{17\pm3\sqrt{3}}{4}\)

chúc bạn học tốt!!!

bố tổ

Theo định lý vi-et ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}xy=a+b\\x+y=ab\end{matrix}\right.\) (với x,y à nghiệm của phương trình)

Giả sử ab>xy

Suy ra x+y>xy suy ra x.(1-y)+y-1>-1 suy ra (x-1)(y-1)<1 suy ra x=1 hoặc y=1

Suy ra 1-ab+a+b=0(vì tổng các hệ số =0) suy ra a=(1+b)/(b-1) ( đến đoạn này là ok)

Giả sử xy>ab Suy ra a+b>ab suy ra a=1 hoặc b=1

Với a=1 suy ra điều kiện để pt có nghiêm nguyên là: (đến đoạn này ok)

Trường hợp còn lại CM tương tự

Bài 1)

Áp dụng định lý hàm số sin kết hợp TC dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{b+c}{\sin B+\sin C}=\frac{2a}{\sin B+\sin C}\)

\(\Rightarrow 2\sin A=\sin B+\sin C\) (đpcm)

Bài 3)

Để PT đã cho có ba nghiệm nguyên phân biệt thì phương trình \(x^2-3x+m=0\) phải có hai nghiệm nguyên phân biệt khác $3$

Để đảm bảo thì \(m\in\mathbb{Z}\) và \(3^2-2.3+m\neq 0\leftrightarrow m\neq 0\)

Và \(\Delta=9-4m>0\Leftrightarrow m<\frac{9}{4}\rightarrow m\leq 2\)

Áp dụng định lý Viet ta có nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của PT thì \(\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2=m\\x_1+x_2=3\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Có vô số nghiệm khác $3$ thỏa mãn $(1)$ nên chỉ cần điều kiện \(m\in\mathbb{Z},m\leq 2,m\neq 0\) là thỏa mãn.

Bài 2)

Từ PT \((2)\Rightarrow x=-(m+1)y\)

Thay vào PT \((1)\Rightarrow -(m+1)y^2-4my-(4m-3)=0\)

\(\Leftrightarrow (m+1)y^2+4my+(4m-3)=0\) \((1)\)

Với \(m=-1\rightarrow x=0\rightarrow 4y=-4-3\rightarrow y=\frac{-7}{4}\), tức là PT có nghiệm

Với \(m\neq -1\) thì \((1)\) là một PT bậc 2

Để có nghiệm thì \(\Delta'=(2m)^2-(m+1)(4m-3)\geq 0\Leftrightarrow -m+3\geq 0\)

\(\Leftrightarrow m\leq 3\)

Vậy từ 2TH trên suy ra chỉ cần \(m\leq 3\) thì thỏa mãn .

126511