Phương trình chứa căn

Sử dụng tính năng gõ công thức trực quan nằm ở vùng khoanh đỏ trong khung soạn thảo để đăng đề đi bạn, nếu không không ai biết đề chính xác là gì để giúp bạn cả:

Bạn chú ý dùng tính năng công thức trực quan hoặc học $\LaTeX$ nha bạn. Nếu không hiểu đề, không ai giúp bạn được đâu.

Đề. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm: \(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}+\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}=m\)

Lời giải.

ĐKXĐ: $1\leqslant x \leqslant 3.$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 

\(m=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}+\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\)

\(\leqslant \dfrac{1+(x-1)}{2}+\dfrac{1+(3-x)}{2}+\dfrac{(x-1)+(3-x)}{2}=3\)

Ta được \(m\leqslant 3 \,\,(1)\)

Lại có:

\(m=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}+\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-x\right)}\)

\(\,\,\,\,\geqslant \sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\geqslant \sqrt{(x-1)+(3-x)}=\sqrt{2}.\)

Kết hợp $(1)$ thu được $\sqrt{2} \leqslant m \leqslant 3.$

Vậy ...

Phương trình có nghiệm nha!

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(\left(\sqrt{x^2+16}-5\right)-\left(\sqrt{x^2+7}-4\right)=x-3\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2-9}{\sqrt{x^2+16}+5}-\dfrac{x^2-9}{\sqrt{x^2+7}+4}=x-3\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=0\Leftrightarrow x=3\\\left(x+3\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+16}+5}-\dfrac{1}{\sqrt{x^2+7}+4}\right)=1\left(1\right)\end{matrix}\right.\).

Mặt khác từ pt ban đầu suy ra x - 2 > 0, do đó x > 2.

Do đó vế trái của (1) bé hơn 0.

Suy ra 91) vô nghiệm.

Vậy nghiệm của pt đã cho là x = 3.

Cách khác: Từ pt đã cho ta thấy x > 2.

PT \(\Leftrightarrow\dfrac{9}{\sqrt{x^2+16}+\sqrt{x^2+7}}=x-2\).

Với x > 3 thì VT < 1; VP > 1.

Với x < 3 thì VT > 1; VP < 1.

Với x = 3 ta thấy thoả mãn.

Vậy nghiệm của pt đã cho là x = 3.

x=-căn bậc hai(13)-3, x=căn bậc hai(14)-2

ĐKXĐ: \(x\ge3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-3}-1+x^2-2x-8=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-4}{\sqrt{x-3}+1}+\left(x+2\right)\left(x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{x-3}+1}+x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=4\)

ĐK: \(x\in R\)

Đặt \(\sqrt{3x^2-2x+15}=a,\sqrt{3x^2-2x+8}=b\left(a,b>0\right)\)

\(pt\Leftrightarrow a+b=a^2-b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-b\left(l\right)\\a=b+1\end{matrix}\right.\)

\(a=b+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3x^2-2x+15}=\sqrt{3x^2-2x+8}+1\)

\(\Leftrightarrow3x^2-2x+15=3x^2-2x+8+1+2\sqrt{3x^2-2x+8}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3x^2-2x+8}=3\)

\(\Leftrightarrow3x^2-2x+8=9\)

\(\Leftrightarrow3x^2-2x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)