Phương trình chứa căn

\(\sqrt{x^2+x-1}-1+\sqrt{x-x^2+1}-1+x-x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+x-2}{\sqrt{x^2+x-1}+1}+\dfrac{x-x^2}{\sqrt{x-x^2+1}+1}+x-x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+x-1}+1}-\dfrac{x}{\sqrt{x-x^2+1}+1}-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

Áp dụng BĐT: \(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\)

Ta có: \(\sqrt{\left(x^2+x-1\right).1}+\sqrt{\left(x-x^2+1\right).1}\)

\(\le\dfrac{x^2+x-1+1}{2}+\dfrac{x-x^2+1+1}{2}=x+1\)\(\Rightarrow\)\(x^2-x+2\le x+1\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\le0\)

\(\Rightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\)

Vậy ...

\(\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{x-x^2+1}=x^2-x+2\)

dk: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+x-1\ge0\\1+x-x^2\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\le x\le\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\)

có \(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}>0\Rightarrow x>0\)

áp BĐT bunyacoxky c

\(\left(\sqrt{x^2+x-1}\right)^2+\left(\sqrt{x^2+x-1}\right)^2\ge\dfrac{\left(\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{x^2+x-1}\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow VT\le\sqrt{4x}=2\sqrt{x}\le x+1\) đẳng thức khi x =1

\(VP=x^2-x+2\ge x+1\)đẳng thức khi x =1

=> \(x=1\) là nghiệm duy nhất

Điều kiện xác định : \(-1\le x\le1\)

Đặt \(y=\sqrt{1+x},t=\sqrt{1-x}\) , (\(y,t\ge0\)

Ta có hpt: \(\begin{cases}4y-2t=yt+3\left(y^2-1\right)+1\\y^2+t^2=2\end{cases}\)

Xét pt đầu : \(4y-2t-yt-3y^2+2=0\)

thay \(2=y^2+t^2\) vào pt trên được ; 

\(4y-2t-yt-2y^2+t^2=0\) \(\Leftrightarrow\left(t-2y\right)\left(t+y-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=2y\\t+y=2\end{array}\right.\)

TH1. Nếu t = 2y ta có pt : \(\sqrt{1-x}=2\sqrt{1+x}\Leftrightarrow1-x=4\left(1+x\right)\Leftrightarrow x=-\frac{3}{5}\)(tmđk)

TH2. Nếu t + y = 2 ta có pt : \(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=2\)

Lại có theo bđt Bunhiacopxki , ta có : \(\left(1.\sqrt{1+x}+1.\sqrt{1-x}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(1+x+1-x\right)=4\)

\(\Rightarrow\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\le2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}-1\le x\le1\\\sqrt{1+x}=\sqrt{1-x}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=0\) (tmđk)

Vậy tập nghiệm của pt : \(S=\left\{-\frac{3}{5};0\right\}\)

đặt ẩn đi bn

đặt 2\(\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}\)=t