Ôn tập toán 8

Gọi EFGH là tứ giác nội tiếp hình vuông

(\(E\in AB,F\in BC,G\in CD,H\in AD\)) , Từ E,F,G,H lần lượt dựng các đường thẳng vuông góc với BD tại P,Q,M,N; I và K là giao điểm của AG và EF.

Ta có : \(AI\ge AM=MP;GI\ge MP=GM;EK\ge EP=BP;KF\ge FQ=BK\)

\(\Rightarrow AG+EF=AI+IG+EK+KF\ge\left(PM+BQ\right)+\left(PN+BP\right)\)

Mặt khác, lại có : \(EH\ge NP;FG\ge MQ\)

\(\Rightarrow EF+FG+GH+HE\ge\left(PM+MQ+BQ\right)+\left(PN+NP+BP\right)\)

                                          \(=BD+BD=2\)

\(\Rightarrow EF+FG+GH+GE\ge2\) (dpcm)

Ta có $EF=2.AI,EH=2.IJ,GH=2.CK,EG=2.IK$( Áp dụng tính chất đường trung bình và trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

Suy ra \(P_{EFGH}=2\left(AI+IJ+JK+KC\right)\ge2AC=2\)

Theo định lí Pytago ta có:

\(EH=\sqrt{AE^2+AH^2}\ge\frac{AE+AH}{\sqrt{2}}\)

Tương tự

\(EF\ge\frac{BE+BF}{\sqrt{2}}\)

\(FG\ge\frac{CF+CG}{\sqrt{2}}\)

\(HG\ge\frac{DG+HD}{\sqrt{2}}\)

Cộng từng vế ta được : \(EH+EF+FA+GH\ge\frac{AB+BC+CA+AD}{\sqrt{2}}=\frac{4AB}{\sqrt{2}}\)

Dễ chứng minh : \(AB=\frac{1}{\sqrt{2}}\rightarrow P_{EFGH}\ge\frac{4AB}{\sqrt{2}}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi E,F,G,H lần lượt là trung điểm các cạnh tương ứng

84. Cho tam giác ABC, D là điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt các cạnh AC và AB theo thứ tự ở E và F.

a) Tứ giác AEDF là hình gi ? Vì sao ?

b) Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi ?

c) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì ? Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình vuông ?

Bài giải:

a) Tứ giác AEDF là hình bình hành.

Vì có DE // AF, DF // AE (gt)

(theo định nghĩa)

b) Hình bình hành AEDF là hình thoi khi AD là tia phân giác của góc A với cạnh BC thì AEDF là hình thoi.

c) Nếu  ∆ABC vuông tại A thì AEDF là hình chữ nhật (vì là hình bình hành có một góc vuông).

Nếu ABC vuông tại A và D là giao điểm của tia phân giác của góc A với cạnh BC thì AEDF là hình vuông (vì vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi).

\(\frac{x}{5x+5}-\frac{x}{10x-10}\)

\(=\frac{x}{5\left(x+1\right)}-\frac{x}{10\left(x-1\right)}\)

\(=\frac{2x\left(x-1\right)-x\left(x+1\right)}{10\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\)

\(=\frac{2x^2-2x-x^2-x}{10\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\)

\(=\frac{x^2-3x}{10\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\)

làm đc mỗi câu b :))

AEFC là hình bình hành ( tự cm nhá :) )

=> đường chéo AC giao đường chéo EF tại trung điểm của EF

câu a => đường chéo MN giao đường chéo EF tại trung điểm của EF

=> ĐPCM

\(x^3-x+y^3-y=\left(x^3+y^3\right)-\left(x+y\right)\\ =\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2-1\right)\)

\(x^3-x+y^3-y\)

\(=\left(x^3+y^3\right)-\left(x+y\right)\)

\(=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-\left(x+y\right)\)

\(=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2-1\right)\)

Phân tích như sau : \(\left(x^3+y^3\right)-\left(x+y\right)=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)-\left(x+y\right)\)

\(=\left(x+y\right)\left(x^2+2xy+y^2-3xy-1\right)\)

\(=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2-1\right)\)

\(\frac{5x+y^2}{x^2y}-\frac{5y-x^2}{xy^2}\)

\(=\frac{y\left(5x+y^2\right)-x\left(5y-x^2\right)}{x^2y^2}\)

\(=\frac{5xy+y^3-5xy+x^3}{x^2y^2}\)

\(=\frac{x^3+y^3}{x^2y^2}\)

\(\frac{xy}{x^2-y^2}-\frac{x^2}{y^2-x^2}\)

\(=\frac{xy+x^2}{x^2-y^2}\)

\(=\frac{x\left(y+x\right)}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\)

\(=\frac{x}{x-y}\)

\(\frac{xy}{x^2-y^2}-\frac{x^2}{y^2-x^2}=\frac{xy}{x^2-y^2}-\left(-1\right)\frac{x^2}{\left(-1\right)\left(y^2-x^2\right)}\)

\(=\frac{xy}{x^2-y^2}-\frac{x^2}{x^2-y^2}=\frac{xy-x^2}{\left(x+y\right)\left(x-y\right)}\)

\(=\frac{x\left(x-y\right)}{\left(x+y\right)\left(x-y\right)}=\frac{x}{x+1}\)

\(a\left(x+a+1\right)=a^3+2x-2\)

\(\Leftrightarrow ax+a^2+a=a^3+2x-2\)

\(\Leftrightarrow ax-2x=a^3-a^2-a-2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)\times x=\left(a-2\right)\times\left(a^2+a+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x=a^2+a+1\) . Vì \(a\ne2\) nên \(x-2\ne0\)

\(\Leftrightarrow x=a^2+2\times a\times\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow x=\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)

Dấu " = " xảy ra khi :

 \(\Leftrightarrow a+\frac{1}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow a=-\frac{1}{2}\)

Vậy \(a=-\frac{1}{2}\) thì x có GTNN

Câu hỏi của Lê Khánh Linh Napie - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath