Ôn tập toán 8

Bài 4 :

24 phút = \(\dfrac{24}{60} = \dfrac{2}{5}\) giờ

Gọi thời gian dự định đi từ A đến B là x(giờ) ; x > 0 

Suy ra quãng đường AB là 36x(km)

Khi vận tốc sau khi giảm là 36 -6 = 30(km/h)

Vì giảm vận tốc nên thời gian đi hết AB là x + \(\dfrac{2}{5}\)(giờ)

Ta có phương trình: 

\(36x = 30(x + \dfrac{2}{5})\\ \Leftrightarrow x = 2\)

Vậy quãng đường AB dài 36.2 = 72(km)

Bài 3 : 

\(A = -x^2 + 2x + 9 = -(x^2 -2x - 9) \\= -(x^2 - 2x + 1 + 10) = -(x^2 -2x + 1)+ 10\\=-(x-1)^2 + 10\)

Vì : \((x-1)^2 \geq 0\) ∀x \(\Leftrightarrow -(x-1)^2 \)≤ 0 ∀x \(\Leftrightarrow -(x-1)^2 + 10\) ≤ 10

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 10 khi x = 1

a, Ta có : M-1= \(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}-1+\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}+1\)=\(\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}+\frac{\left(b-c\right)^2-a^2}{2bc}+\frac{\left(a+c\right)^2-b^2}{2ac}\)

=\(\frac{\left(a-b-c\right)\left(a-b+c\right)}{2ab}+\frac{\left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)}{2bc}+\frac{\left(a+c-b\right)\left(a+b+c\right)}{2ac}\)

=\(\frac{\left(a-b-c\right)\left(a-b+c\right)c+\left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)a+\left(a+c-b\right)\left(a+c+b\right)b}{2abc}\)

=\(\frac{\left(ac-bc-c^2\right)\left(a-b+c\right)-\left(a+c-b\right)\left(ba-ca+a^2\right)+\left(a+c-b\right)\left(ab+bc+b^2\right)}{^{ }2abc}\)

=\(\frac{\left(a+c-b\right)\left(ac-bc-c^2-ba+ca-a^2+ab+bc+b^2\right)}{^{ }2abc}\)

=\(\frac{\left(a+c-b\right)\left[b^2-\left(a-c\right)^2\right]}{2abc}=\frac{\left(a+c-b\right)\left(b-a+c\right)\left(b+a-c\right)}{2abc}\) (*)

a, vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên a,b,c>0 và a+b-c>,a+c-b>0,

b+c-a>0 \(\Rightarrow\) (*) >0 nên M-1>0 \(\Rightarrow\)M>0

b,Với M=1, ta có M-1 = (*)=0 \(\Rightarrow\)(a+c-b)(b-a+c)(b+a-c)=0

\(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}a+b=c\\a+c=b\\b+c=a\end{matrix}\right.\)

. TH1 : a+b=c\(\Rightarrow\) \(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-1=\frac{\left(a-b\right)^2-\left(a+b\right)^2}{2ab}=\frac{-4ab}{2ab}=-2\)\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=-1\)

mặt khác a+b=c thì a-c=b \(\Rightarrow\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}+1=\frac{\left(a+c\right)^2-\left(a-c\right)^2}{2ac}=\frac{4ac}{2ac}=2\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=1\)\(\Rightarrow\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=1\)(đpcm)

. TH2 và TH3 tương tự như trường hợp 1 ta chứng minh được bài toán

C1 : Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có :

\(\sum\dfrac{a}{b+c-a}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}}\ge3\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

C2 : Theo Cauchy Schwarz :

\(\sum \frac{a}{b+c-a}\geq \sum \frac{a^2}{ab+ac-a^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+ca+bc)-a^2-b^2-c^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\frac{2}{3}(a+b+c)^2-\frac{1}{3}(a+b+c)^2}=3\)

(đpcm).

Đặt b+c-a=x, c+a-b=y, a+b-c=z thì 2a =y+z, 2b +x+z, 2c +x+y. Ta có:

\(\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}\)

= \(\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}\)

=\(\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)\)(1)

Mà \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}-2=\dfrac{x^2+y^2-2xy}{xy}=\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\)( vì xy >0)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\)(2)

Tương tự: \(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\ge2\)(3)

\(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\ge2\)(4)

Từ (1),(2),(3) và (4):

\(\Rightarrow\)\(\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)\)\(\ge6\)

Hay \(\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}\) \(\ge6\)

Do đó: \(\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\ge3\)(đpcm)

\(\left(1.x+9.\frac{1}{y}\right)^2\le\left(1^2+9^2\right)\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\Rightarrow\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+\frac{9}{y}\right)\)

\(TT:\sqrt{y^2+\frac{1}{z^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+\frac{9}{z}\right);\sqrt{z^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(z+\frac{9}{x}\right)\)

\(S\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{81}{x+y+z}\right)\)

\(=\frac{1}{\sqrt{82}}\left[\left(x+y+z+\frac{1}{x+y+z}\right)+\frac{80}{x+y+z}\right]\ge\sqrt{82}\)

a)

Xét \(\Delta DAC\) và \(\Delta EAC\) có :

AD = AC

\(\widehat{DAC}=\widehat{EAB}\left(=60^0+\widehat{ABC}\right)\)

AB = AE

=>  \(\Delta DAC\) = \(\Delta EAC\) (( c.g.c )

=> DC = BE

b) Gọi giao điểm của BC và DE là K

Ta c/m được \(\Delta DBK=\Delta ECK\left(g.c.g\right)\)

=> KB = KC

Tiếp tục c/m được \(\Delta AKB=\Delta AKC\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{BAK}=\widehat{CAK}\)

=> AK à tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)

=> đpcm

Cm cố định ak bn

Đặt \(x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c\) , khi đó : \(\begin{cases}2a=y+z\\2b=x+z\\2c=x+y\end{cases}\)

Ta có : \(\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{c+a-b}+\frac{2c}{a+b-c}=\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\)

                                                  \(\ge2+2+2=6\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\)

ta có \(\frac{a}{b+c}-1+\frac{b}{a+c}-1+\frac{c}{a+b}-1=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}-3\)     vì a b c là cách cạnh của tam giác nên biểu thức trên >= 3                                                                           

Đặt x = a+b , y = b+c , z = c+a

=> \(\begin{cases}a=\frac{x+z-y}{2}\\b=\frac{x+y-z}{2}\\c=\frac{y+z-x}{2}\end{cases}\)

Thay vào tính : \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}+\frac{y+z-x}{2x}\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\right]-\frac{3}{2}\) 

\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2\right)-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

a)Ta có \(\begin{cases}BE=ED=\frac{1}{2}BD\\BM=MC\end{cases}\) => ME là đường trung bình của tam giác BDC

=> EM // CD => EMCD là hình thang.

b) Ta chứng minh được ME // CD hay ME // ID (câu a) =>DIME là hình thang

Lại có AD = DE => DI là đường trung bình của tam giác AEM => AI = IM => I là trung điểm AM

Dễ Như Ăn Cháo

Gọi x là quãng đường AB và v là vận tốc của xe thứ nhất .

Thời gian xe thứ nhất từ A đến B là \(\dfrac{x}{v}\)

Đi nửa quãng đường mà xe thứ nhất đã mất ít hơn xe thứ hai \(\dfrac{1}{6}h\), vậy đi cả quãng đường thì xe thứ hai đi mất : \(\dfrac{x}{v}+\dfrac{1}{3}.\)

Khi xe thứ nhất đến B thì xe thứ ba mới bắt đầu đi, cho nên nếu tính từ xe thứ hai đi từ B đến lúc cả xe thứ hai và xe thứ ba cùng đến B thì thời gian đó là : \(\dfrac{x}{v}+\dfrac{x}{120}\)

Ta có phương trình : \(\dfrac{x}{v}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{x}{v}+\dfrac{x}{120}\Rightarrow\dfrac{x}{120}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=40\left(km\right).\)

Xe thứ ba đi đoạn đường BC mất : \(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}\left(h\right)\)

Vì sau khi xe thứ nhất đi qua C : 10 + 20 = 30 ( phút ) thì xe thứ ba mới đi qua C . Vậy tốc độ ô tô thứ nhất là : \(10:\dfrac{1}{3}=60\) ( km/h). Thời gian xe thứ nhất đi hét đoạn đường là \(\dfrac{2}{3}\left(h\right)\).

Vậy xe thứ hai đi hết cả đoạn đường mất : \(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}=1\left(h\right).\)

Vận tốc xe thứ hai là 40 km/h