Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x+y+z=xyz
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x+y+z=xyz
Ta có:
\(x+y+z=xyz\left(1\right)\)
Chia hai vế của \(\left(1\right)\) cho \(xyz\ne0\) ta được:
\(\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{xy}=1\)
Giả sử \(x\ge y\ge z\ge1\) ta có:
\(1=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{xy}\le\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^2}=\dfrac{3}{z^2}\)
\(\Rightarrow1\le\dfrac{3}{z^2}\Rightarrow z^2\le3\Leftrightarrow z=1\)
Thay \(z=1\) vào \(\left(1\right)\) ta được:
\(x+y+1=xy\)
\(\Leftrightarrow xy-x-y=1\)
\(\Leftrightarrow x\left(y-1\right)-\left(y-1\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)=2\)
Mà \(x-1\ge y-1\) nên: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=2\\y-1=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=2\end{matrix}\right.\)
Vậy nghiệm dương của phương trình là các hoán vị của \(1,2,3\)
theo bài ra ta có:
\(x+y+z=xyz\\ \Rightarrow\dfrac{x+y+z}{xyz}=\dfrac{xyz}{xyz}=1\\ \Rightarrow\dfrac{x+y+z}{xyz}=1\\ \Rightarrow\dfrac{x}{xyz}+\dfrac{y}{xyz}+\dfrac{z}{xyz}=1\\ \Rightarrow\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{xy}=1\)
giả sử \(1\le x\le y\le z\) ta có:
\(1=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{xy}\le\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}\\ \Rightarrow1\le\dfrac{3}{x^2}\)
\(\Rightarrow x^2\le3\)
=> \(x^2\inƯ_{\left(3\right)}=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)
=> x = 1
thay x = 1 vào đầu bài ta có:
\(1+y+z=yz\\ \Rightarrow1+y+z-yz=0\\ \Rightarrow\left(1+z\right)+\left(y-yz\right)=0\\ \Rightarrow\left(1+z\right)-y\left(z-1\right)=0\\ \Rightarrow\left(1+z\right)-y\left(z-1\right)-2=-2\\ \Rightarrow\left(1+z-2\right)-y\left(z-1\right)=-2\\ \Rightarrow\left(z-1\right)-y\left(z-1\right)=-2\\ \Rightarrow\left(z-1\right)\left(1-y\right)=-2\)
=> \(\left(z-1\right);\left(1-y\right)\inƯ_{\left(-2\right)}=\left\{1;-1;2;-2\right\}\)
ta có bảng sau:
z-1 | -1 | 1 | 2 | -2 |
z | 0 | 2 | 3 | -1 |
1-y | 2 | -2 | -1 | 1 |
y | -1 | 3 | 2 | 0 |
vì y và z là các số nguyên dương
=> các cặp (y;z) là (3;2), (2;3)
vậy các cặp (x;y;z) là (1;3;2), (1;2;3)
vậy các nghiệm guyên dương của phương trình trên là hoán vị của 1;2;3
Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z.
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy thuộc {1 ; 2 ; 3}.
Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí.
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3.
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2.
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3).
tìm x để biểu thức A=|x-2013|+|x-2014| đạt giá trị nhỏ nhất
Có: \(A=\left|x-2013\right|+\left|x-2014\right|=\left|x-2013\right|+\left|2014-x\right|\ge\left|x-2013+2014-x\right|=1\)
Vậy GTNN của A là 1 khi \(2013\le x\le2014\)
1) ( -213) + 186 + ( - 14 ) + 217 + 54 + ( - 49 )
2 ) - 38 . ( 25 - 4 ) + 25 . ( -4 + 38 )
3) -39 . ( 5 - 99 ) + 99 . ( 10 - 39 )
4 ) 1+ 3-5-7+9+ 11 - ....- 397 - 399
5) 1+ 2 + 2^2 + ... + 2 ^ 100
6) 3^102 - 3 ^ 100 - 3 ^ 98 -...3 ^2 - 3 ^0
1: \(=\left(217-213+186\right)+\left(-14-49+54\right)\)
\(=190-9=181\)
2: \(=-38\cdot25+38\cdot4-25\cdot4+25\cdot38\)
\(=13\cdot4=52\)
3: \(=-39\cdot5+39\cdot99+99\cdot10-99\cdot39\)
\(=-195+990=795\)
4: =(1+3-5-7)+(9+11-13-15)+...+(393+395-397-399)
=(-8)+(-8)+...+(-8)
=-800
cho tam giac abc co goc a bang 60. tia phan giac goc b cat ac tai d, tia phan giac goc c cat ab tai e.cac tia phan giac do cat nhau tai i. chung minh id=ie
Thi Nguyễn mời bạn vào link sau là biết kết quả:
http://olm.vn/hoi-dap/question/693212.html
Cho 4 số a1, a2, a3, a4 khác 0 sao cho a2 ^2 = a1.a3 và a3 ^2 =a2.a4
CMR : (a1^3 + a2^3 + a3^3)/(a2^3 + a3^3 + a4^3 ) = a1/a4
Ta có:
\(\begin{cases}a_2^2=a_1.a_3\\a_3^2=a_2.a_4\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_1}{a_2}\\\frac{a_3}{a_4}=\frac{a_2}{a_3}\end{cases}\)\(\Rightarrow\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}\)
\(\Rightarrow\frac{a_1^3}{a_2^3}=\frac{a_2^3}{a_3^3}=\frac{a_3^3}{a_4^3}=\frac{a_1}{a_2}.\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}=\frac{a_1}{a_4}\left(1\right)\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:
\(\frac{a_1^3}{a_2^3}=\frac{a_2^3}{a_3^3}=\frac{a_3^3}{a_4^3}=\frac{a_1^3+a_2^3+a_3^3}{a_2^3+a_3^3+a_4^3}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a_1^3+a_2^3+a_3^3}{a_2^3+a_3^3+a_4^3}=\frac{a_1}{a_4}\left(đpcm\right)\)
Cho a,b,c thỏa mãn:a+b+c=0, Chứng minh rằng :ab+2bc+3ca\(\le0\)
Giải:
\(a+b+c=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c=-a\\a+b=-c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow ab+2bc+3ca\)
\(=ab+ca+2bc+2ca\)
\(=a\left(b+c\right)+2c\left(a+b\right)\)
\(=a\left(-a\right)+2c\left(-c\right)\)
\(=-a^2-2c^2\le0\)
Vậy \(ab+2bc+3ca\le0\) (Đpcm)
Ta có: a + b + c = 0 nên suy ra: b = – (a + c) thay vào biểu thức:
ab + 2bc + 3ca = -a.(a + c) – 2c.(a + c) + 3ac = -a² – ac – 2ac – 2c² + 3ac = – (a² + 2c²) ≤ 0 (đpcm).
x/3 = y/4 ; y/3 = z/5 và 2x - 3y + z = 6
Ta có \(\frac{x}{3}=\frac{y}{4}\Rightarrow\frac{x}{9}=\frac{y}{12}\) ; \(\frac{y}{3}=\frac{z}{5}\Rightarrow\frac{y}{12}=\frac{z}{20}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{9}=\frac{y}{12}=\frac{z}{20}\Rightarrow\frac{2x}{18}=\frac{3y}{36}=\frac{z}{20}\)
Áp dụng tc dãy tỉ số bằng nhau : \(\frac{2x}{18}=\frac{3y}{36}=\frac{z}{20}=\frac{2x-3y+z}{18-36+20}=\frac{6}{2}=3\)
\(\Rightarrow\begin{cases}x=27\\y=36\\z=60\end{cases}\)
x/3 = y/4 ; y/3 = z/5 và 2x - 3y + z = 6
=> x/9=y/12 ; y/12=z/20
=> x/9=y/12=z/20 và 2x-3y+z=6
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
2x/18 = 3y/36 = z/20 = 2x-3y+z/ 18-36+20 = 6/2 = 3
Vậy: x=27
y=36
z=60
Tìm x,y,z biết :
2x=3y=5z và x-y+z= -33
Từ
\(2x=3y=5z\Rightarrow\frac{2x}{30}=\frac{3y}{30}=\frac{5z}{30}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{15}=\frac{y}{10}=\frac{z}{6}=\frac{x-y+z}{15-10+6}=-\frac{33}{11}=-3\)
\(\Rightarrow\begin{cases}x=-45\\y=-30\\z=-18\end{cases}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{\frac{1}{2}}=\frac{y}{\frac{1}{3}}=\frac{z}{\frac{1}{5}}=\frac{x-y+z}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}=-\frac{33}{\frac{11}{30}}=-90\)
\(\frac{x}{\frac{1}{2}}=-90\Rightarrow x=-\frac{90}{2}=-45\)
\(\frac{y}{\frac{1}{3}}=-90\Rightarrow y=-\frac{90}{3}=-30\)
\(\frac{z}{\frac{1}{5}}=-90\Rightarrow z=-\frac{90}{5}=-18\)
Vậy \(x=-45;y=-30;z=-18\)
Giải:
Ta có:
2x=3y=5
\(\Rightarrow\frac{2x}{30}=\frac{3y}{30}=\frac{5z}{30}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{15}=\frac{y}{10}=\frac{z}{6}\)
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x}{15}=\frac{y}{10}=\frac{z}{6}=\frac{x-y+z}{15-10+6}=-\frac{33}{11}=-3\)
+) \(\frac{x}{15}=-3\Rightarrow x=-45\)
+) \(\frac{y}{10}=-3\Rightarrow y=-30\)
+) \(\frac{z}{6}=-3\Rightarrow z=-18\)
tìm x,y ( y khác 0) biết : x + y=x.y=x:y
Ta có: y # 0
x.y = x: y nên \(x.y:\frac{x}{y}=1\) hay \(\frac{x.y.y}{x}=y^2=1\)
Vậy y= 1 hoặc -1
x+y = x.y nên \(\frac{x+y}{x.y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1\)
- Nếu y=1 thì \(\frac{1}{x}=1-1=0\) => Ko tìm được x.
- Nếu y= -1 thì \(\frac{1}{x}=1-\left(-1\right)=2\) => x= \(\frac{1}{2}\)
Vậy x= \(\frac{1}{2}\) và y= -1.
Ta có:
x + y = x.y => x = x.y - y = y.(x - 1)
=> x : y = x - 1 = x + y
=> y = -1
=> x = -1.(x - 1) = -x + 1
=> x + x = 1 = 2x
=> x = 1/2
Vậy x = 1/2; y = -1
Từ :\(x+y=x.y\Rightarrow x=xy-y=y\left(x-1\right)\Rightarrow x:y=x-1\)
Mặt khác, theo đề bài: \(x:y=x+y\)
Suy ra: \(x-1=x+y\Rightarrow y=-1\)
Thay \(y=-1\) vào \(x+y=x.y\)
Ta được: \(x-1=-x\Rightarrow2.x=1\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)
Vậy \(x=\frac{1}{2};y=-1\)
Hai xe ô tô đi từ A đến B. Vận tốc xe thứ nhất là 60 km/h. Vận tốc xe thứ hai là 40 km/h. Thời gian xe thứ nhất đi ít hơn xe thứ hai là 30 phút. Tính thời gian mỗi xe đi từ A đến B và chiều dài quãng đường AB.
tính nhẩm:
s/40 - s/60 = 1/2
s = 60km; t1= 1h; t2 = 1,5h
Ta có: 30 phút = \(\dfrac{1}{2}\)giờ
Khi xe thứ nhất tới B thì xe thứ hai cách B số km là:
40.\(\dfrac{1}{2}\) = 20 (km)
Ôtô thứ nhất có vận tốc nhiều hơn ôtô thứ hai là:
60 - 40 = 20 km/h
Thời gian để xe thứ nhất vượt xe thứ hai với quãng đường là 20km là:
20 : 20 = 1(h)
Vậy quãng đường AB dài số km là: 60 . 1 = 60 km
Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B là: 60:60 = 1h
Thời gian xe thứ hai đi từ A đến B là: 60:40= 1,5h