Bài 1: Nguyên hàm

Ngọc Hưng
Xem chi tiết
Ngọc Hưng
22 tháng 4 2022 lúc 6:40

ai qtv xoá bớt 1 câu giúp mình với ạ mình đăng lộn 2 lần :))

Bình luận (0)
Đỗ Tuệ Lâm
22 tháng 4 2022 lúc 6:54

undefined

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
23 tháng 4 2022 lúc 9:29

\(I=\int\left(x^2+2x\right)ln\left(3x+1\right)dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=ln\left(3x+1\right)\\dv=\left(x^2+2x\right)dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{3}{3x+1}dx\\v=\dfrac{1}{3}x^3+x^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\left(\dfrac{1}{3}x^3+x^2\right).ln\left(3x+1\right)-\int\dfrac{x^3+3x^2}{3x+1}dx\)

\(=\left(\dfrac{1}{3}x^3+x^2\right)ln\left(3x+1\right)-\dfrac{1}{27}\int\left(9x^2+24x-8+\dfrac{8}{3x+1}\right)dx\)

\(=\left(\dfrac{1}{3}x^3+x^2\right)ln\left(3x+1\right)-\dfrac{1}{27}\left(3x^3+12x^2-8x+\dfrac{8}{3}ln\left(3x+1\right)\right)+C\)

Bình luận (0)
Ngọc Hưng
Xem chi tiết
Dương Nguyễn
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
17 tháng 4 2022 lúc 21:29

\(\int x\left(x+1\right)^4dx\)

Đặt \(x+1=u\Rightarrow x=u-1\) ; \(dx=du\)

\(I=\int\left(u-1\right)u^4du=\int\left(u^5-u^4\right)du=\dfrac{1}{6}u^6-\dfrac{1}{5}u^5+C\)

\(=\dfrac{1}{6}\left(x+1\right)^6-\dfrac{1}{5}\left(x+1\right)^5+C\)

Bình luận (0)
hoàng hiền
Xem chi tiết
hoàng hiền
30 tháng 3 2022 lúc 8:33

GiuG mình câu 1😒 với câu 3a

Bình luận (0)
Khôi Bùi
30 tháng 3 2022 lúc 17:13

Ta có : \(\int f\left(x\right)dx=\int sin^3x.cosx.dx=\int sin^3x.d\left(sinx\right)=\dfrac{sin^4x}{4}+C\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
4 tháng 4 2022 lúc 23:05

3.

\(x\left(2-f'\left(x\right)\right)=f\left(x\right)+1\Leftrightarrow x.f'\left(x\right)+f\left(x\right)=2x-1\)

\(\Leftrightarrow\left[x.f\left(x\right)\right]'=2x-1\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(x.f\left(x\right)=\int\left(2x-1\right)dx=x^2-x+C\)

Thay \(x=2\Rightarrow6=2+C\Rightarrow C=4\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{x^2-x+4}{x}\Rightarrow f\left(4\right)=4\)

Bình luận (0)
Crackinh
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
11 tháng 3 2022 lúc 21:32

Từ giả thiết: \(\int f\left(x\right).e^{2x}dx=x.e^x+C\)

Đạo hàm 2 vế:

\(\Rightarrow f\left(x\right).e^{2x}=e^x+x.e^x\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{e^x+x.e^x}{e^{2x}}=\dfrac{x+1}{e^x}\)

Xét \(I=\int f'\left(x\right)e^{2x}dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=e^{2x}\\dv=f'\left(x\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2.e^{2x}dx\\v=f\left(x\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=f\left(x\right).e^{2x}-2\int f\left(x\right).e^{2x}dx=\left(\dfrac{x+1}{e^x}\right)e^{2x}-2.x.e^x+C\)

\(=\left(1-x\right)e^x+C\)

Bình luận (0)
Crackinh
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
11 tháng 3 2022 lúc 21:24

\(2x.f'\left(x\right)-f\left(x\right)=x^2\sqrt{x}.cosx\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}.f'\left(x\right)-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}f\left(x\right)=x.cosx\)

\(\Leftrightarrow\left[\dfrac{f\left(x\right)}{\sqrt{x}}\right]'=x.cosx\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\int\left[\dfrac{f\left(x\right)}{\sqrt{x}}\right]'dx=\int x.cosxdx\)

\(\Rightarrow\dfrac{f\left(x\right)}{\sqrt{x}}=x.sinx+cosx+C\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x\sqrt{x}.sinx+\sqrt{x}.cosx+C.\sqrt{x}\)

Thay \(x=4\pi\)

\(\Rightarrow0=4\pi.\sqrt{4\pi}.sin\left(4\pi\right)+\sqrt{4\pi}.cos\left(4\pi\right)+C.\sqrt{4\pi}\)

\(\Rightarrow C=-1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x\sqrt{x}.sinx+\sqrt{x}.cosx-\sqrt{x}\)

Bình luận (0)
Crackinh
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
11 tháng 3 2022 lúc 21:06

\(F\left(x\right)=\int\left(e^x.ln\left(ax\right)+\dfrac{e^x}{x}\right)dx=\int e^xln\left(ax\right)dx+\int\dfrac{e^x}{x}dx=\int e^xlnxdx+\int\dfrac{e^x}{x}dx+\int e^x.lna.dx\)

Xét \(I=\int e^xlnxdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=e^x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=lnx.e^x-\int\dfrac{e^x}{x}dx\)

\(\Rightarrow F\left(x\right)=e^x.lnx+e^x.lna+C\)

\(F\left(\dfrac{1}{a}\right)=e^{\dfrac{1}{a}}ln\left(\dfrac{1}{a}\right)+e^{\dfrac{1}{a}}.lna+C=0\Rightarrow C=0\)

\(F\left(2020\right)=e^{2020}ln\left(2020\right)+e^{2020}.lna=e^{2020}\)

\(\Rightarrow ln\left(2020a\right)=1\Rightarrow a=\dfrac{e}{2020}\)

Bình luận (0)
Crackinh
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
11 tháng 3 2022 lúc 21:16

2.

\(I=\int e^{3x}.3^xdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=3^x\\dv=e^{3x}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=3^xln3dx\\v=\dfrac{1}{3}e^{3x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3}e^{3x}.3^x-\dfrac{ln3}{3}\int e^{3x}.3^xdx=\dfrac{1}{3}e^{3x}.3^x-\dfrac{ln3}{3}.I\)

\(\Rightarrow\left(1+\dfrac{ln3}{3}\right)I=\dfrac{1}{3}e^{3x}.3^x\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3+ln3}.e^{3x}.3^x+C\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
11 tháng 3 2022 lúc 21:17

1.

\(I=\int\left(2x-1\right)e^{\dfrac{1}{x}}dx=\int2x.e^{\dfrac{1}{x}}dx-\int e^{\dfrac{1}{x}}dx\)

Xét \(J=\int2x.e^{\dfrac{1}{x}}dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=e^{\dfrac{1}{x}}\\dv=2xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-\dfrac{e^{\dfrac{1}{x}}}{x^2}dx\\v=x^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow J=x^2.e^{\dfrac{1}{x}}+\int e^{\dfrac{1}{x}}dx\)

\(\Rightarrow I=x^2.e^{\dfrac{1}{x}}+C\)

Bình luận (1)
Technology I
9 tháng 1 lúc 22:41

Để tìm nguyên hàm của hàm số, ta cần xác định giá trị của hàm tại một điểm nào đó.

Trong trường hợp này, ta chọn điểm nhân nguyên tố nhất là 3.

Để tính giá trị của hàm tại điểm 3, ta đặt x=3 vào hàm số:

 

f ( x )

( 2 x − 1 ) e 1 x

= ( 2 ( 3 ) − 1 ) e 1 ( 3 )

= ( 6 − 1 ) e 1 3

= ( 5 ) e 1 3

 

f ( x )

e 3 x

= e 3 ( 3 )

= e 3 3

Ta tiến hành tính toán:

 

f ( 3 )

( 5 ) e 1 3

= 5 e 1 3

 

f ( 3 )

e 3 3

= e 3 3

Như vậy, giá trị của hàm tại điểm 3 là 5e^3 hoặc e^33, tùy thuộc vào hàm số cụ thể.

Tóm lại, để tìm nguyên hàm của hàm số, ta đã tìm được rằng giá trị của hàm tại điểm 3 là 5e^3 hoặc e^33, tùy thuộc vào hàm số cụ thể.

Bình luận (1)
Crackinh
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
5 tháng 3 2022 lúc 17:14

1.

\(I=\int\dfrac{cot^2x}{sin^6x}dx=\int\dfrac{cot^2x}{sin^4x}.\dfrac{1}{sin^2x}=\int cot^2x\left(1+cot^2x\right)^2.\dfrac{1}{sin^2x}dx\)

Đặt \(u=cotx\Rightarrow du=-\dfrac{1}{sin^2x}dx\)

\(I=-\int u^2\left(1+u^2\right)^2du=-\int\left(u^6+2u^4+u^2\right)du\)

\(=-\dfrac{1}{7}u^7+\dfrac{2}{5}u^5+\dfrac{1}{3}u^3+C\)

\(=-\dfrac{1}{7}cot^7x+\dfrac{2}{5}cot^5x+\dfrac{1}{3}cot^3x+C\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
5 tháng 3 2022 lúc 17:15

2.

\(I=\int\left(e^{sinx}+cosx\right).cosxdx=\int e^{sinx}.cosxdx+\int cos^2xdx\)

\(=\int e^{sinx}.d\left(sinx\right)+\dfrac{1}{2}\int\left(1+cos2x\right)dx\)

\(=e^{sinx}+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}sin2x+C\)

Bình luận (0)
Crackinh
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
5 tháng 3 2022 lúc 17:16

\(\int sin^2x.cos^2xdx=\dfrac{1}{4}\int sin^22xdx=\dfrac{1}{8}\int\left(1-cos4x\right)dx\)

\(=\dfrac{1}{8}x-\dfrac{1}{32}sin4x+C\)

Bình luận (0)