Chương 3: NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Hoang Khoi
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
14 tháng 5 2021 lúc 18:32

\(f^2\left(x\right).f'\left(x\right)=x.e^x\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\int f^2\left(x\right).f'\left(x\right)dx=\int x.e^xdx\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{3}f^3\left(x\right)=\left(x-1\right)e^x+C\)

Thay \(x=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{f^3\left(1\right)}{3}=C\Rightarrow C=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{3}f^3\left(x\right)=\left(x-1\right)e^x+\dfrac{1}{3}\Rightarrow f^3\left(x\right)=3\left(x-1\right)e^x+1\)

\(f\left(x\right)+1=0\Leftrightarrow f\left(x\right)=-1\Leftrightarrow f^3\left(x\right)=-1\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-1\right)e^x+1=-1\Rightarrow3\left(x-1\right)e^x+2=0\)

Xét hàm \(g\left(x\right)=3\left(x-1\right)e^x+2\Rightarrow g'\left(x\right)=3x.e^x=0\Rightarrow g'\left(x\right)=0\) có đúng 1 nghiệm

\(\Rightarrow g\left(x\right)=0\) có tối đa 2 nghiệm

\(g\left(0\right)=-1< 0\) ; \(g\left(1\right)=2>0\) ; \(g\left(-2\right)=-\dfrac{9}{e^2}+2>0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}g\left(0\right).g\left(1\right)< 0\\g\left(0\right).g\left(-2\right)< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow g\left(x\right)=0\) có đúng 2 nghiệm

Bình luận (0)
Kayla Phuong
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
21 tháng 4 2021 lúc 15:14

\(A=\dfrac{1}{6}\int\limits^{\pi}_0sin6x.d\left(6x\right)=-\dfrac{1}{6}cos6x|^{\pi}_0=0\)

Bình luận (0)
Hoang Khoi
Xem chi tiết
Luân Trần
Xem chi tiết
Phạm Lợi
Xem chi tiết
Hoàng Tử Hà
20 tháng 3 2021 lúc 23:16

Cách này hơi dài chút, nhưng nếu nghĩ ra cách hay hơn mình sẽ đề xuất nhe!

\(=\int\sin^5x.\left(2\sin x\cos x\right)^3.2xdx=16\int x.\sin^8x\cos^3xdx\)

\(\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=\sin^8x.\cos^3xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=\int\sin^8x.\cos^3xdx\end{matrix}\right.\)

\(I_1=\int\sin^8x\cos^3xdx=\int\sin^8x.\cos^2x.\cos xdx=\int\sin^8x.\left(1-\sin^2x\right)\cos xdx\)

\(t=\sin x\Rightarrow dt=\cos xdx\Rightarrow\int\sin^8x\left(1-\sin^2x\right)\cos xdx=\int(t^8-t^{10})dt=\dfrac{1}{9}t^9-\dfrac{1}{11}t^{11}=\dfrac{1}{9}\sin^9x-\dfrac{1}{11}\sin^{11}x\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=\dfrac{1}{9}\sin^9x-\dfrac{1}{11}\sin^{11}x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{I}{16}=x.\left(\dfrac{1}{9}\sin^9x-11\sin^{11}x\right)-\int\left(\dfrac{1}{9}\sin^9x-\dfrac{1}{11}\sin^{11}x\right)dx\)

\(I_2=\int\left(\dfrac{1}{9}\sin^9x-\dfrac{1}{11}\sin^{11}x\right)dx=\dfrac{1}{9}\int\sin^9xdx-\dfrac{1}{11}\int\sin^{11}xdx\)

À thế này là xong rồi còn gì :) Bạn tự làm nốt nhé

 

Bình luận (0)
Luân Trần
Xem chi tiết
Hoàng Tử Hà
15 tháng 3 2021 lúc 18:35

\(\left\{{}\begin{matrix}u=ln\left(x+1\right)\\dv=xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x+1}\\v=\dfrac{1}{2}x^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\int xln\left(x+1\right)dx=\dfrac{1}{2}x^2.ln\left(x+1\right)-\dfrac{1}{2}\int\dfrac{x^2}{x+1}dx\)

\(\int\dfrac{x^2dx}{x+1}=\int\left(x-1\right)dx+\int\dfrac{dx}{x+1}\)

P/s: Tất cả đã về dạng cơ bản, bạn tự làm nốt ạ

Bình luận (0)
Luân Trần
Xem chi tiết
Hoàng Tử Hà
15 tháng 3 2021 lúc 18:23

\(\int\dfrac{lnx}{x\left(2ln^2x-1\right)^3}dx\)

\(t=2ln^2x-1\Rightarrow dt=\dfrac{4}{x}lnxdx\Rightarrow dx=\dfrac{x.dt}{4lnx}\)

\(\Rightarrow\int\dfrac{lnx}{x\left(2ln^2x-1\right)^3}dx=\int\dfrac{lnx}{x\left(2ln^2x-1\right)^3}.\dfrac{xdt}{4lnx}=\dfrac{1}{4}\int\dfrac{dt}{t^3}=\dfrac{1}{4}.\left(-\dfrac{1}{2}\right).t^{-2}=-\dfrac{1}{8\sqrt{2ln^2x-1}}\)

Bình luận (0)
Luân Trần
Xem chi tiết
Hoàng Tử Hà
15 tháng 3 2021 lúc 18:17

\(\int\dfrac{dx}{x^3+x}=\int\dfrac{dx}{x\left(x^2+1\right)}\)

\(t=x^2+1\Rightarrow dt=2xdx\Rightarrow\int\dfrac{dx}{x\left(x^2+1\right)}=\int\dfrac{dt}{2x^2t}=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dt}{\left(t-1\right).t}\)

\(\dfrac{1}{\left(t-1\right).t}=\dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t}\)

\(\Rightarrow\int\dfrac{dt}{\left(t-1\right)t}=\int\left(\dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t}\right)dt=\int\dfrac{dt}{t-1}-\int\dfrac{dt}{t}=ln\left|t-1\right|-ln\left|t\right|=ln\left|x^2\right|-ln\left|x^2+1\right|\)

Bình luận (0)
Luân Trần
Xem chi tiết
Hoàng Tử Hà
15 tháng 3 2021 lúc 18:09

\(\int e^x\left(2-x\right)dx\)

\(\left\{{}\begin{matrix}u=2-x\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-dx\\v=e^x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\int e^x\left(2-x\right)dx=e^x\left(2-x\right)+\int e^xdx=e^x\left(2-x\right)+e^x\)

Bình luận (0)
Luân Trần
Xem chi tiết
Akai Haruma
15 tháng 3 2021 lúc 13:42

Lời giải:

\(\int f(x)dx=\int \frac{x^2+2x}{x+1}dx=\int \frac{(x+1)^2-1}{x+1}dx=\int (x+1-\frac{1}{x+1})dx\)

\(=\int (x+1)dx-\int \frac{1}{x+1}dx=\frac{x^2}{2}+x-\ln |x+1|+c\)

Bình luận (0)