Chương 3: NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Nguyễn Tùng Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
6 tháng 3 2022 lúc 21:31

\(I=\int\limits^e_1x^2.ln^2x.\dfrac{1}{x\left(lnx+1\right)^2}dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x^2ln^2x\\dv=\dfrac{1}{x\left(lnx+1\right)^2}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2x.lnx\left(lnx+1\right)\\v=-\dfrac{1}{lnx+1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=-\dfrac{x^2ln^2x}{lnx+1}|^e_1+\int\limits^e_12x.lnxdx=-\dfrac{e^2}{2}+I_1\)

Xét \(I_1\), đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=2xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=x^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I_1=x^2lnx|^e_1-\int\limits^e_1xdx=...\)

Bình luận (0)
Nguyễn Tùng Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
4 tháng 3 2022 lúc 17:18

\(f'\left(x\right)=f'\left(1-x\right)\Rightarrow\int f'\left(x\right)dx=\int f'\left(1-x\right)dx\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=-f\left(1-x\right)+C\Rightarrow f\left(x\right)+f\left(1-x\right)=C\)

Thay \(x=0\Rightarrow f\left(0\right)+f\left(1\right)=C\Rightarrow C=42\)

\(\Rightarrow\int\limits^1_0\left[f\left(x\right)+f\left(1-x\right)\right]dx=\int\limits^1_042dx=42\)

Xét \(I=\int\limits^1_0f\left(1-x\right)dx\)

Đặt \(1-x=u\Rightarrow dx=-du;\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow u=1\\x=1\Rightarrow u=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\int\limits^0_1f\left(u\right).\left(-du\right)=\int\limits^1_0f\left(u\right).du=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\)

\(\Rightarrow2\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=42\Rightarrow\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=21\)

Bình luận (0)
Nguyễn Tùng Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Tùng Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
18 tháng 2 2022 lúc 21:23

Đặt \(t=\pi-x\Rightarrow dx=-dt\)

\(I=\int\limits^0_{\pi}\dfrac{\left(\pi-t\right)sint}{sin^2t+3}.-dt=\int\limits^{\pi}_0\dfrac{\left(\pi-t\right)sint}{sin^2t+3}dt=\int\limits^{\pi}_0\dfrac{\left(\pi-x\right)sinx}{sin^2x+3}dx\)

\(\Rightarrow2I=I+I=\int\limits^{\pi}_0\left(\dfrac{xsinx}{sin^2x+3}+\dfrac{\left(\pi-x\right)sinx}{sin^2x+3}\right)dx=\pi\int\limits^{\pi}_0\dfrac{sinx}{sin^2x+3}dx\)

\(=-\pi\int\limits^{\pi}_0\dfrac{d\left(cosx\right)}{4-cos^2x}=-\dfrac{\pi}{4}ln\left|\dfrac{2+cosx}{2-cosx}\right||^{\pi}_0=\dfrac{\pi.ln3}{2}\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{\pi.ln3}{4}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Lê Phước Thịnh
18 tháng 2 2022 lúc 12:28

Chọn B

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
18 tháng 2 2022 lúc 14:30

\(f\left(x\right)=\int f'\left(x\right)dx=\int\left(3x^2-e^x+1-m\right)dx=x^3-e^x+\left(1-m\right)x+C\)

\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right)=2\\f\left(2\right)=1-e^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1+C=2\\8-e^2+2\left(1-m\right)+C=1-e^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=3\\2\left(1-m\right)+C=-7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2\left(1-m\right)=-10\)

\(\Rightarrow m=6\)

Bình luận (0)
Dark_Hole
18 tháng 2 2022 lúc 10:48

B?

Bình luận (0)
Như Nguyệt
18 tháng 2 2022 lúc 10:49

Bình luận (0)
Hoàng Minh Ngọc
18 tháng 2 2022 lúc 10:51

c

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
18 tháng 2 2022 lúc 14:37

\(\int\sqrt[3]{4x-2}dx=\dfrac{1}{4}\int\left(4x-2\right)^{\dfrac{1}{3}}d\left(4x-2\right)=\dfrac{1}{4}.\left(-\dfrac{3}{2}\right).\left(4x-2\right)^{-\dfrac{2}{3}}+C\)

\(=-\dfrac{3}{8\sqrt[3]{\left(4x-2\right)^2}}+C\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
18 tháng 2 2022 lúc 14:39

\(\int h\left(x\right)dx=\int\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx-\int g\left(x\right)dx\)

\(=x^2+C_1-\left(\dfrac{x^2}{3}+C_2\right)=\dfrac{2x^2}{3}+C\)

Bình luận (0)
Thanh Nguyễn
Xem chi tiết
Phương Trâm
16 tháng 1 2022 lúc 18:49

a) \(I_1=\int\dfrac{dx}{x^2+2x+3}\)

\(=\int\dfrac{dx}{\left(x+1\right)^2+2}=\int\dfrac{d\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)^2+\left(\sqrt{2}\right)^2}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{2}}arctan\left(\dfrac{x+1}{\sqrt{2}}\right)+C\)

b) \(I_2=\int\dfrac{dx}{4x^2+4x+2}\)

\(=\int\dfrac{dx}{\left(2x+1\right)^2+1}=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{d\left(2x+1\right)}{\left(2x+1\right)^2+1^2}\)

\(=\dfrac{1}{2}arctan\left(2x+1\right)+C\)

Bình luận (0)
Thanh Nguyễn
Xem chi tiết
Phương Trâm
16 tháng 1 2022 lúc 18:59

a) \(I_4=\int\dfrac{3x+5}{2x^2+x+10}dx\)

\(=\int\dfrac{\dfrac{3}{4}\left(4x+1\right)+\dfrac{17}{4}}{2x^2+x+10}dx=\dfrac{3}{4}\int\dfrac{\left(4x+1\right)dx}{2x^2+x+10}+\dfrac{17}{4}\int\dfrac{dx}{2x^2+x+10}\)

\(=\dfrac{3}{4}\int\dfrac{d\left(2x^2+x+10\right)}{2x^2+x+10}+\dfrac{17}{8}\int\dfrac{dx}{x^2+\dfrac{x}{2}+5}\)

\(=\dfrac{3}{4}\ln\left(2x^2+x+10\right)+\dfrac{17}{8}\int\dfrac{dx}{\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{79}{16}}\)

\(=\dfrac{3}{4}\ln\left(2x^2+x+10\right)+\dfrac{17}{8}\int\dfrac{dx}{\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{79}{16}}\)

\(=\dfrac{3}{4}\ln\left(2x^2+x+10\right)+\dfrac{17}{8}\int\dfrac{d\left(x+\dfrac{1}{4}\right)}{\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{79}}{4}\right)^2}\)

\(=\dfrac{3}{4}\ln\left(2x^2+x+10\right)+\dfrac{17}{8}.\dfrac{4}{\sqrt{79}}arctan\left(\dfrac{4x+1}{\sqrt{79}}\right)+C\)

\(=\dfrac{3}{4}\ln\left(2x^2+x+10\right)+\dfrac{17}{2\sqrt{79}}arctan\left(\dfrac{4x+1}{\sqrt{79}}\right)+C\)

Bình luận (0)
Phương Trâm
16 tháng 1 2022 lúc 19:09

b) \(I_5=\int\dfrac{4x-1}{6x^2+9x+4}dx\)

\(=\int\dfrac{\dfrac{1}{3}\left(12x+9\right)-4}{6x^2+9x+4}dx\)

\(=\dfrac{1}{3}\int\dfrac{\left(12x+9\right)dx}{6x^2+9x+4}-4\int\dfrac{dx}{6x^2+9x+4}\)

\(=\dfrac{1}{3}\int\dfrac{d\left(6x^2+9x+4\right)}{6x^2+9x+4}-4\int\dfrac{dx}{\left(3x+1\right)^2+3}\)

\(=\dfrac{1}{3}\ln\left(6x^2+9x+4\right)-\dfrac{4}{3}\int\dfrac{d\left(3x+1\right)}{\left(3x+1\right)^2+\left(\sqrt{3}\right)^2}\)

\(=\dfrac{1}{3}\ln\left(6x^2+9x+4\right)-\dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{\sqrt{3}}arctan\left(\dfrac{3x+1}{\sqrt{3}}\right)+C\)

 

Bình luận (0)