Chương 3: NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Lời giải:

\(f(x)=\int \frac{\cos x}{(\sin x+2)^2}dx=\int \frac{d(\sin x)}{(\sin x+2)^2}=\int \frac{d(\sin x+2)}{\sin x+2)^2}\)

\(\Leftrightarrow f(x)=\frac{-1}{\sin x+2}+c\)

Bạn nhớ rằng \(\int \frac{dt}{t^2}=-\frac{1}{t}+c\)

Do đó ta thu được đáp án cần tìm như trên.

giúp mình với ạ

Lời giải:

Tính nguyên hàm của hàm số trên trước:

\(I=\int \frac{1}{\sin^2x\cos^4x}dx=\int\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x\cos^4x}dx\)

\(\Leftrightarrow I =\int \left ( \frac{1}{\cos^4x}+\frac{1}{\sin^2x\cos^2x} \right )dx=\int \left ( \frac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos^4x} +\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x\cos^2x}\right )dx\)

\(\Leftrightarrow I=\int \frac{\sin^2xdx}{\cos^4x}+2\int \frac{dx}{\cos^2x}+\int \frac{dx}{\sin^2x}=\int \tan^2xd(\tan x)+2\tan x-\cot x\)

\(\Leftrightarrow I=\frac{\tan^3x}{3}+2\tan x-\cot x\)

\(\Rightarrow J=\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{4}\\ \frac{\pi}{6}\end{matrix}\right|\left ( \frac{\tan ^3x}{3}+2\tan x-\cot x \right )=\frac{36+8\sqrt{3}}{27}\)

đặt t =\(cotx\) \(\Leftrightarrow dt=\frac{-1}{sin^2x}dx\)

đổi cận x=\(\frac{\pi}{6}\) thì t=\(\sqrt{3}\) nếu x\(=\frac{\pi}{4}\)thi t\(=1\)

thì tích phân \(\int_1^{\sqrt{3}}\left(1+\frac{1}{t^2}\right)^2dt\)

Lời giải:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=e^x\\ dv=2^xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=e^xdx\\ v=\int2^xdx=\frac{2^x}{\ln 2}\end{matrix}\right.\)

Do đó \(I=\int 2^xe^xdx=\frac{2^xe^x}{\ln 2}-\frac{1}{\ln 2}\int 2^xe^xdx=\frac{2^xe^x}{\ln 2}-\frac{I}{\ln 2}\)

\(\Rightarrow \frac{I(\ln 2+1)}{\ln 2}=\frac{2^xe^x}{\ln 2}\)

\(\Rightarrow I=\frac{2^xe^x}{\ln 2+1}+c\)

Từ sau khi đăng bài phiền bạn học cách gõ công thức toán, nhìn ntn rất rối mắt

1)

\(A=-\int\cot^2 xdx=-\int\frac{\cos ^2x}{\sin^2x}dx=-\int \frac{1-\sin^2x}{\sin^2x}dx=-\int\frac{dx}{\sin^2x}+\int dx\)

\(\Rightarrow A=\cot x+x+c\)

2)

\(B=\int xe^{-x}dx\). Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=x\\ dv=e^{-x}dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=dx\\ v=\int e^{-x}dx=-e^{-x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow B=-xe^{-x}+\int e^{-x}dx=-xe^{-x}-e^{-x}+c\)

Bài 3: Ta có

\(F(x)=\int f(x)dx=\int (2x+\sin x+2\cos x)dx=2\int xdx+\int \sin xdx+2\int \cos xdx\)

\(\Leftrightarrow F(x)=x^2-\cos x+2\sin x+c\)

Vì \(F(0)=1\Rightarrow 0-1+0+c=1\Leftrightarrow c=2\)

\(\Rightarrow F(x)=x^2-\cos x+2\sin x+2\), tức đáp án A là đáp án đúng.

P/s: Mấy bải này rất dễ. Mình nghĩ cơ bản là bạn nên học thuộc bảng đạo hàm và tính chất nguyên hàm là sẽ ổn thôi.

Lời giải:

Bài 1:

Ta nhớ công thức \(\sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}\). Áp dụng vào bài toán:

\(F(x)=8\int \sin^2\left(x+\frac{\pi}{12}\right)dx=4\int \left [1-\cos \left(2x+\frac{\pi}{6}\right)\right]dx\)

\(\Leftrightarrow F(x)=4\int dx-4\int \cos \left(2x+\frac{\pi}{6}\right)dx=4x-2\int \cos (2x+\frac{\pi}{6})d(2x+\frac{\pi}{6})\)

\(\Leftrightarrow F(x)=4x-2\sin (2x+\frac{\pi}{6})+c\)

Giải thích 1 chút: \(d(2x+\frac{\pi}{6})=(2x+\frac{\pi}{6})'dx=2dx\)

Vì \(F(0)=8\Rightarrow -1+c=8\Rightarrow c=9\)

\(\Rightarrow F(x)=4x-2\sin (2x+\frac{\pi}{6})+9\)

Câu 2:

Áp dụng nguyên hàm từng phần như bài bạn đã đăng:

\(\Rightarrow F(x)=-xe^{-x}-e^{-x}+c\)

Vì \(F(0)=1\Rightarrow -1+c=1\Rightarrow c=2\)

\(\Rightarrow F(x)=-e^{-x}(x+1)+2\), tức B là đáp án đúng

1)

Đặt \(t=sin^2x\) cho gọn

\(dt=d\left(sin^2x\right)=2sinx\cdot cosx\cdot dx\)

Khi đó:

\(I_1=\int e^t\cdot\left(1-t^2\right)\cdot\frac{dt}{2}=\frac{1}{2}\int\left(1-t^2\right)d\left(e^t\right)\\ =\frac{1}{2}\cdot e^t\cdot\left(1-t^2\right)-\frac{1}{2}\int e^t\cdot d\left(1-t^2\right)=\frac{1}{2}\cdot e^t\cdot\left(1-t^2\right)+\int t\cdot e^t\cdot dt\\ =\frac{e^t\left(1-t^2\right)}{2}+t\cdot e^t-e^t+C\\ =e^t\left(-\frac{t^2}{2}+t-1\right)=...\)

ai giúp em giải bài 43 con 1 với con 4 với ạ. e cảm ơn ạ

Nguyễn Hoàng ViệtAkai Haruma

a)\(\int \sin ^2\left (\frac{x}{2}\right)dx=\int \frac{1-\cos x }{2}dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin x}{2}+c\)

b)\(\int \cos ^2 \left (\frac{x}{2}\right)dx=\int \frac{1+\cos x}{2}dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin x}{2}+c\)

c) \(\int \frac{(2x+1)dx}{x^2+x+5}=\int \frac{d(x^2+x+5)}{x^2+x+5}=ln(x^2+x+5)+c\)

d)\(\int (2\tan x+ \cot x)^2dx=4\int \tan ^2 x+\int \cot^2 x+4\int dx=4\int \frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}dx+\int \frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x}dx+4\int dx \)\( =4\int d(\tan x)-\int d(\cot x)-\int dx=4\tan x-\cot x-x+c\)

À rồi, nếu mình hiểu không nhầm thì có nghĩa là \(BB'=6(km)\)

Theo đề bài: Xét tam giác vuông tại $B'$ là $AB'B$ có điểm $M\in AB'$

Đặt $MB'=x$. Chi phí đường ống là: \(AM.5000+13000MB=5000(9-x)+13000\sqrt{36+x^2}\)

Để chi phí min thì \(y=13000\sqrt{36+x^2}-5000x\) phải min.

Có \(y'=\frac{13000x}{\sqrt{36+x^2}}-5000=0\Leftrightarrow x=\pm 2,5\). Do đó $y$ min khi $x=2,5$, tức là $AM=9-2,5=6,5$

Do đó $D$ là đáp án đúng.

Một công ty muốn chạy một đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo mà là 6 km từ bờ biển

Câu bôi đậm có nghĩa gì vậy bạn =)))