Chương 3: NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Hồ Quốc Khánh
Xem chi tiết
Bùi Chí Trung
Xem chi tiết
Akai Haruma
1 tháng 9 2018 lúc 12:30

Lời giải:

Với những dạng như thế này bạn có thể thực hiện chia cả 2 vế cho $x^2$, sẽ ra những kết quả rất đẹp.

\(\int \frac{x^2-1}{x^4+1}dx=\int \frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}dx=\int \frac{d\left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^2+\frac{1}{x^2}}\)

\(=\int \frac{d\left(x+\frac{1}{x}\right)}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}=\int \frac{dt}{t^2-2}\) (đặt \(t=x+\frac{1}{x}\))

\(=\int \frac{dt}{(t-\sqrt{2})(t+\sqrt{2})}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\int \left(\frac{1}{t-\sqrt{2}}-\frac{1}{t+\sqrt{2}}\right)dt\)

\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\ln |t-\sqrt{2}|-\ln |t+\sqrt{2}|\right)+c\)

\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln |\frac{t-\sqrt{2}}{t+\sqrt{2}}|+c=\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln |\frac{x^2-\sqrt{2}x+1}{x^2+\sqrt{2}x+1}|+c\)

Bình luận (0)
Tuyết Minh
Xem chi tiết
Akai Haruma
24 tháng 6 2018 lúc 0:34

Lời giải:

Ta có:\(F(x)=\int (2x-3)\ln xdx\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln x\\ dv=(2x-3)dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dx}{x}\\ v=\int (2x-3)dx=x^2-3x\end{matrix}\right.\)

Do đó:

\(F(x)=\int (2x-3)\ln xdx=(x^2-3x)\ln x-\int (x^2-3x).\frac{dx}{x}\)

\(=(x^2-3x)\ln x-\int (x-3)dx=(x^2-3x)\ln x-(\frac{x^2}{2}-3x)+c\)

Với \(x=1\)

\(F(1)=\frac{5}{2}+c=0\Rightarrow c=\frac{-5}{2}\)

Vậy \(F(x)=(x^2-3x)\ln x-\frac{x^2}{2}+3x-\frac{5}{2}\)

\(\Rightarrow 2F(x)+x^2-6x+5=2(x^2-3x)\ln x-x^2+6x-5+x^2-6x+5\)

\(=2(x^2-3x)\ln x=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ x=3\\ x=1\end{matrix}\right.\)

Tức là pt có 3 nghiệm.

Bình luận (0)
Nữ Nhi Nhí Nhảnh
Xem chi tiết
Huỳnh Lê Đạt
Xem chi tiết
SofV VN
Xem chi tiết
SofV VN
15 tháng 3 2018 lúc 21:06
https://i.imgur.com/G0Y8yZV.jpg
Bình luận (0)
Minh Lê Văn
Xem chi tiết
Akai Haruma
30 tháng 12 2017 lúc 23:33

Lời giải:

Để ý rằng \(\cos 2x=\cos ^2x-\sin ^2x=1-2\sin ^2x\)

\(\Rightarrow \sin ^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}\Rightarrow \sin ^2x+1=\frac{3-\cos 2x}{2}\)

Do đó:

\(F=\int \frac{2\sin 2xdx}{3-\cos 2x}=\int \frac{\sin 2xd(2x)}{3-\cos 2x}\)

Đặt \(2x=t\Rightarrow F=\int \frac{\sin tdt}{3-\cos t}=\int \frac{d(-\cos t)}{3-\cos t}\)

\(=\int \frac{d(3-\cos t)}{3-\cos t}=\ln |3-\cos t|+c=\ln |3-\cos 2x|+c\)

P/s: Lần sau bạn chú ý viết công thức rõ ràng nhé. Bấm vào biểu tượng \(\sum \) và viết thôi.

Bình luận (1)
Nguyễn Thiên Hương
Xem chi tiết
Akai Haruma
30 tháng 12 2017 lúc 23:51

*Đặt tên các biểu thức theo thứ tự lần lượt là A,B,C,D,E,F *

Câu 1)

Ta có: \(d(\cos x)=(\cos x)'d(x)=-\sin xdx\)

\(\Rightarrow -d(\cos x)=\sin xdx\)

\(\Rightarrow A=\int \sqrt{3\cos x+2}\sin xdx=-\int \sqrt{3\cos x+2}d(\cos x)\)

Đặt \(\sqrt{3\cos x+2}=t\Rightarrow \cos x=\frac{t^2-2}{3}\)

\(\Rightarrow A=-\int td\left(\frac{t^2-2}{3}\right)=-\int t.\frac{2}{3}tdt=-\frac{2}{3}\int t^2dt=-\frac{2}{3}.\frac{t^3}{3}+c\)

\(=-\frac{2}{9}t^3+c=\frac{-2}{9}\sqrt{(3\cos x+2)^3}+c\)

 

 

Bình luận (0)
Akai Haruma
31 tháng 12 2017 lúc 0:00

Câu 2:

\(B=\int (1+\sin^3x)\cos xdx=\int \cos xdx+\int \sin ^3xcos xdx\)

\(=\int \cos xdx+\int \sin ^3xd(\sin x)\)

\(=\sin x+\frac{\sin ^4x}{4}+c\)

Câu 3:

\(C=\int \frac{e^x}{\sqrt{e^x-5}}dx=\int \frac{d(e^x)}{\sqrt{e^x-5}}\)

Đặt \(\sqrt{e^x-5}=t\Rightarrow e^x=t^2+5\)

Khi đó: \(C=\int \frac{d(t^2+5)}{t}=\int \frac{2tdt}{t}=\int 2dt=2t+c=2\sqrt{e^x-5}+c\)

Bình luận (0)
Akai Haruma
31 tháng 12 2017 lúc 0:18

Câu 4:

\(D=\int (x\sin x+2)dx=\int x\sin xdx+\int 2dx\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u= x\\ dv= \sin xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=dx\\ v=\int \sin xdx=-\cos x \end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \int x\sin xdx= -x\cos x+\int \cos xdx=-x\cos x+\sin x+c\)

\(\int 2dx=2x+c\)

Do đó: \(D=-x\cos x+\sin x+2x+c\)

Câu 5:

\(E=\int 2x\cos xdx=2\int x\cos xdx\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=x\\ dv=\cos xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=dx\\ v=\int \cos xdx=\sin x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+c\)

\(\Rightarrow E=2x\sin x+2\cos x+c\)

Câu 6:

\(\int 3^2\ln xdx=9\int \ln xdx\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln x\\ dv=dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dx}{x}\\ v=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \int \ln xdx=x\ln x-\int dx=x\ln x-x+c\)

\(\Rightarrow F=9x\ln x-9x+c\)

Bình luận (0)
Akai Haruma
31 tháng 12 2017 lúc 17:14

Lời giải:

Sử dụng PP nguyên hàm từng phần.

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln x\\ dv=3x^2dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dx}{x}\\ v=\int 3x^2dx=x^3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \int 3x^2\ln xdx=x^3\ln x-\int x^2dx\)

\(=x^3\ln x-\frac{x^3}{3}+c\)

Bình luận (0)
金曜日 チャーターから
30 tháng 12 2017 lúc 18:34

đặt lnx = t rồi dùng pp dổi biến số

(căn bản)

Bình luận (0)
nguyễn thị quyên
Xem chi tiết
Akai Haruma
31 tháng 12 2017 lúc 17:34

Lời giải:

\(F(x)=\int \frac{x^3+3x^2+3x-1}{x^2+2x+1}dx=\int \frac{x^3+3x^2+3x+1-2}{(x+1)^2}dx\)

\(=\int \frac{(x+1)^3-2}{(x+1)^2}dx\)

\(=\int \left(x+1-\frac{2}{(x+1)^2}\right )dx\)

\(=\int (x+1)dx-2\int \frac{dx}{(x+1)^2}=\int (x+1)dx-2\int \frac{d(x+1)}{(x+1)^2}\)

\(=\frac{x^2}{2}+x+\frac{2}{x+1}+c\)

Vì \(F(1)=\frac{1}{3}\Leftrightarrow \frac{1}{2}+1+\frac{2}{1+1}+c=\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow c+\frac{5}{2}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow c=\frac{-13}{6}\)

Do đó: \(F(x)=\frac{x^2}{2}+x+\frac{2}{x+1}-\frac{13}{6}\)

Bình luận (0)
金曜日 チャーターから
30 tháng 12 2017 lúc 18:56

a/b=thương+(số dư/số chia)

đáng lẽ phải học mấy pp này chứ ?

Bình luận (0)
金曜日 チャーターから
30 tháng 12 2017 lúc 18:56

F(1)=1/3

để làm gì ?

Bình luận (1)