Chương 1: KHỐI ĐA DIỆN

Lời giải
 

1) Gọi H là trung điểm của AB.
ΔSAB đều → SH ⊥ AB
mà (SAB) ⊥ (ABCD) → SH⊥ (ABCD)
Vậy H là chân đường cao của khối chóp.

2) Ta có tam giác SAB đều nên SA =a3√2
suy ra V=13SABCD.SH=a33√6

ta có cc' vuông với ac

=> tam giac acc' vuông tại c

=> những điểm cách đều a,c,c' làđường thẳng vuông góc và đi qua trung điểm ac'

cm tương tự với tam giác cc'b

giao điểm của 2 đường thẳng là tâm của khối cầu ngoại tiếp khối đa diện ACB'C'

tính được r= a(3/2) => v===================

V= \(\dfrac{1}{3}.SA.\dfrac{1}{2}.AB.BC\)

= \(\dfrac{1}{6}.SA.a.2a=a^3\sqrt{2}\) => SA = \(3a\sqrt{2}\)

Câu 1: Gọi H là trung điểm AB thì SH là trung trực của tam giác đều SAB. Tâm đường tròn ngoại tiếp SAB là điểm E chia đường cao SH theo tỉ số EH : SH = 1:3.

- Gọi D là trung điểm BC thì D là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và HD là đường trung bình tam giác vuông BAC, HD song song AC nên HD vuông góc AB. Mà (SAB) vuông góc với đáy (ABC) nên SH vuông góc (ABC). Do đó, dựng hình chữ nhật EHDO thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC và OA chính là bán kính hình cầu này.

- Tam giác ABC vuông cân với cạnh góc vuông a nên cạnh huyền \(BC=a\sqrt{2}\), do đó \(DA=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\).

Tam giác SAB đều cạnh a nên đường cao \(SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\), do đó \(OD=EH=\dfrac{1}{3}SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\). Vì vậy

\(OA^2=DA^2+OD^2=\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{a^2}{12}=\dfrac{7a^2}{12}\).

Hình cầu có bán kính \(R=a\sqrt{\dfrac{7}{12}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{6}\). Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là

\(V=\dfrac{4\pi R^3}{3}=\dfrac{4\pi}{3}\left(\dfrac{a\sqrt{21}}{6}\right)^3=\dfrac{7\pi a^3\sqrt{21}}{54}\)

Câu 2: Thiết diện qua trục hình trụ là hình vuông TNPR cạnh 3a nên hình trụ có chiều cao 3a và có bán kính đáy \(\dfrac{3a}{2}\).

Hình trụ có diện tích đáy \(\pi\left(\dfrac{3a}{2}\right)^2=\dfrac{9\pi a^2}{4}\), diện tích xung quanh là \(3a.2.\dfrac{3a}{2}\pi=9a^2\pi\). Hình trụ có diện tích toàn phần là \(2.\dfrac{9\pi a^2}{4}+9\pi a^2=\dfrac{27\pi a^2}{2}\).

Câu 3:

Hính nón cần tính diện tích xung quanh có đỉnh là tâm E của hình vuông ABCD và có đáy là hình tròn ngoại tiếp hình vuông A'B'C'D'. Vậy hình nón này có chiều cao EO = AA' = a; có bán kính đáy là \(r=OA'=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\) nên có đường sinh là \(l=EA'=\sqrt{EO^2+OA'^2}=\sqrt{a^2+\dfrac{a^2}{2}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\) Diện tích xung quanh hình nón là

\(S_{xq}=\pi rl=\pi.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{a\sqrt{6}}{2}=\dfrac{\pi a^2\sqrt{3}}{2}\)