Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi M là điểm bất kì thuộc cạnh BC ( M \(\ne\) B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
a) Chứng minh tam giác OME vuông cân
b) Chứng minh ME song song với BN.
c) Từ C, kẻ \(CH\perp BN\left(H\in BN\right)\). CMR : 3 điểm O, M, H thẳng hàng
(giúp mình câu c là chính nha)
a) và b) thì dễ rồi nhé !!!
c)
Gọi giao điểm của OM và BN là H'
Ta có : \(\widehat{MH'B}=\widehat{EMO}=45^0\)
Xét \(\Delta BMH'\) và \(\Delta OCM\) có :
\(\widehat{H}=\widehat{C}\left(=45^0\right)\)
\(\widehat{BMH'}=\widehat{CMO}\) ( đối đỉnh )
=> \(\Delta BMH'\)~ \(\Delta OMC\) ( g . g )
Ta có tỉ số :
\(\dfrac{BM}{MH'}=\dfrac{OM}{MC}\)
Lại xét \(\Delta BMO\) và \(\Delta H'MC\) có :
\(\dfrac{BM}{MH'}=\dfrac{OM}{MC}\)
\(\widehat{BMO}=\widehat{H'MC}\) ( đối đỉnh )
=> \(\Delta BMO\)~\(\Delta H'MC\) ( c . g . c )
=> \(\widehat{OBM}=\widehat{CH'M}=45^0\)
=> \(\widehat{BH'C}=90^0\)
=> H' trùng với H
=> đfcm
Để c/m 3 điểm thẳng hàng bạn chứng minh \(\widehat{OMH}\) = 180o nhé! Mik ko đủ năng lực để c/m cái này.
Đây là hình và cách làm câu a và b. Giúp mình câu c nhé :
Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho BK = AC. Gọi E là trung điểm của BC; F là trung điểm của AK. C/m rằng : EF song song với tia phân giác Ax của góc BAC.
Kẻ \(\text{Cy}//\text{AB}\) cắt tia \(\text{Ax}\) tại \(\text{H}\)
\(\widehat{BAH}=\widehat{CHA}\) (so le trong, \(\text{AB//CH}\))
Mà \(\widehat{CAH}=\widehat{BAH}\) (Ax tia là phân giác)
\(\Rightarrow\widehat{CHA}=\widehat{CAH}\) suy ra \(\Delta CAH\) cân tại C
Do đó: \(\left\{{}\begin{matrix}CH=CA\\BK=CA\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow CH=BK; \text{CH//BK}\)
Suy ra tứ giác \(\text{KCHB}\) là hình bình hành suy ra \(E\) là trung điểm \(KH\)
Do \(F\) là trung điểm của \(AK\) nên \(EF\) là đường trung bình của \(\Delta KHA\)
Do đó \(\text{EF//AH}\) hay \(\text{EF//Ax}\) (ĐPCM)
Thiếu hình nè bạn, tiếp tục giải như bạn ở dưới.
like nhé
Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD.Trên OB và OD lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho BE = DF
a.Chứng minh AECF là hình bình hành
b.Hình bình hành ABCD phải có điều kiện gì để AECF là hình thoi?
c.AF cắt CD tại M.Xác định vị trí của điểm F để M là trung điểm CD
a) Vì ABCD là hình thoi(gt). Mà AC và BD cắt nhau tại O
=> O là trung điểm của AC và BD (t/c của hình bình hành)
=> OB=OD. Mà BE=DF(gt)
=> OB-BE=OD-DF => OE=OF. Mà O nằm giữa E và F
=> O là trung điểm của EF
Xét tứ giác AECF có: AC cắt EF tại O
Mà O là trung điểm của AC( c/m trên )
O là trung điểm của EF( c/m trên )
=> AECF là hình bình hành (Tứ giác có 2 đ/c cắt nhau tại trung điểm của mỗi đg là hình bình hành)
b) Để AECF là hình thoi => \(AC\perp EF\) tại O
=> \(AC\perp BD\) tại O (\(E; F\in\left(O\right)\))
Xét hình bình hành ABCD có: \(AC\perp BD\) tại O (c/m trên)
=> ABCD là hình thoi (Hình bình hành có 2 đ/c vuông góc là hình thoi)
Vậy để AECF là hình thoi thì ABCD là hình thoi
c) Vì AECF là hình bình hành(c/m trên) => AF // EC (t/c của hình bình hành)
=> FM // EC ( \(M\in AF\) )
Xét \(\Delta CDE\) có: FM // EC (c/m trên)
M là trung điểm của CD (gt)
=> F là trung điểm của DE
Vậy để M là trung điểm của CD thì F là trung điểm của DE
a/
Có tứ giác ABCD là hình bình hành=> OB=OD mà EB=FD(gt)=> OE=OF(1)
Mặt khác cũng vì ABCD là hình bình hành(gt) => OA=OC(2)
Từ (1) và (2) => Tứ giác AECF là hình bình hành( 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
b/ Để hình bình hành AECF là hình thoi
<=> AE=AF(dấu hiệu nhận biết hình thoi)
<=> tam giác AFD=tam giác AEB( AD=AB;góc ADF=góc ABE; DF=BE)
<=>tứ giác ABCD là hình thoi
c/Để M là trung điểm của DC
<=> AM là trung tuyến của tam giác ADC mà OD cũng là trung tuyến của tam giác ADC( OA=OC)
mà AM giao OD tại F
=> F là trọng tâm của tam giác ADC( giao điểm của 3 đường trung tuyến)
Cho tam giác nhọn ABC (AB≠AC) và O là giao điểm các đường trung trực của tam giác. Vẽ ra phía ngoài của tam giác hai hình vuông ABDE và ACGH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của EH và BC.
a) Chứng minh AM vuông góc với BC.
b) Trường hợp OH = OE:
. Tứ giác AMON là hình gì ? Vì sao ?
. Tính góc BAC.
a) Gọi E' là điểm đối xứng với E qua A.
Khi đó ta thấy ngay MA là đường trung bình của tam giác EE'H
Vậy nên MA // HE'.
Kéo dài MA, cắt BC tại K.
Ta thấy rằng \(\widehat{BAC}=\widehat{E'AH}\) (Cùng phụ với góc CAE')
Vậy nên ta có ngay \(\Delta ABC=\Delta AE'H\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{AE'H}=\widehat{ABC}\)
Lại có \(\widehat{AE'H}=\widehat{E'AK}\) (Hai góc so le trong)
\(\widehat{E'AK}=\widehat{MAE}\) (Hai góc đổi đỉnh)
Vậy nên \(\widehat{ABC}=\widehat{MAE}\)
Suy ra \(\widehat{ABK}+\widehat{BAK}=\widehat{MAE}+\widehat{BAK}=180^o-\widehat{EAB}=90^o\)
Xét tam giác ABK có \(\widehat{ABK}+\widehat{BAK}=90^o\) nên \(\widehat{AKB}=90^o\Rightarrow MA\perp BC\left(đpcm\right)\)
b) +) Ta có \(MA\perp BC;ON\perp BC\Rightarrow\) MA // ON.
Chứng minh tương tự ta cũng có \(NA\perp EH\)
Khi OE = OH thì tam giác OEH cân tại O, suy ra OM là trung tuyến đồng thời đường cao. Vậy \(OM\perp EH\Rightarrow\) OM // NA
Vậy thì AMON là hình bình hành.
+) Ta có AMON là hình bình hành nên AM = ON.
Lại có \(AM=\dfrac{HE'}{2}=\dfrac{BC}{2}=BN=NC\)
Nên \(NO=NB=NC\Rightarrow\widehat{BOC}=90^o\)
Vậy thì \(\widehat{B_1}=\widehat{C_1}=45^o\)
Ta có \(\widehat{BAC}+\widehat{B_2}+\widehat{B_1}+\widehat{C_2}+\widehat{C_1}=180^o\)
Mà do OA = OB = OC nên \(\widehat{B_2}=\widehat{BAO};\widehat{C_2}=\widehat{OAC}\Rightarrow\widehat{B_2}+\widehat{C_2}=\widehat{BAC}\)
Suy ra \(2\widehat{BAC}=90^o\Rightarrow\widehat{BAC}=45^o\)
Cho hình thang cân ABCD gọi MNEF lần lượt là trung điểm của AB;BC;CD;DA. MNEF là hình gì?Vì sao?
Giải dùm Với :v :v 
Xét \(\Delta ABD,\)đường trung bình \(MF\)
\(\Rightarrow MF=\frac{1}{2}BD;MF\)song song BD
Xét \(\Delta CBD,\)đường trung bình NE
\(\Rightarrow NE=\frac{1}{2}BD;\)NE song song BD
\(\Rightarrow MF=NE;MF\)song song NE
\(\Rightarrow MNEF\)là hình bình hành
Xét \(\Delta BAC,\)đường trung bình MN
\(\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AC\)
Vì ABCD là hình thang cân nên AC=BD
\(\Rightarrow MN=MF\left(=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD\right)\)
Hình bình hành MNEF có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi. Vậy ...
