Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.

Đỗ Đại Học
Xem chi tiết
Đỗ Đại Học
Xem chi tiết
Trung Cao
2 tháng 3 2017 lúc 13:29

\(\left(ABC\right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\)

\(d\left[O,\left(ABC\right)\right]=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}}\)

\(d_{max}\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)_{min}\)

Theo cô si: \(a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Leftrightarrow3\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow a^2b^2c^2\le1\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2b^2c^2}\ge1\)

Và: \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a^2}\dfrac{1}{b^2}.\dfrac{1}{c^2}}\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{c^2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)

\(\Rightarrow d_{max}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

Bình luận (0)
Biziemon Béo
Xem chi tiết
Akai Haruma
19 tháng 2 2017 lúc 2:28

Bạn xem lại đề xem có ghi thiếu dữ kiện gì không?

Bình luận (2)
Biziemon Béo
Xem chi tiết
Akai Haruma
15 tháng 2 2017 lúc 20:02

Lời giải:

Gọi vector pháp tuyến của \((P)\)\((a,b,c)\)

Ta có \((-1,-2,3)=\overrightarrow {AB}\perp \overrightarrow{n_P}\Rightarrow -a-2b+3c=0\) $(1)$

Do mặt phẳng đi qua \(A\) nên nó có dạng:\(a(x-1)+by+cz=0\)

Khoảng cách từ \(C\mapsto (P)\) là : \(d=\frac{|b+c|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow 6bc=4a^2+b^2+c^2\) $(2)$

Từ \((1),(2)\Rightarrow 6bc=4(2b-3c)^2+b^2+c^2\Leftrightarrow 17b^2+37c^2-54bc=0\)

\(\Leftrightarrow (37c-17b)(c-b)=0\)

TH1: \(b=c\Rightarrow a=3c-2b=b\)

PTMP: \(b(x-1)+by+bz=0\Leftrightarrow x+y+z-1=0\)

TH2: \(c=\frac{17b}{37}\Rightarrow a=3c-2b=\frac{-23}{37}b\)

PTMP: \(-\frac{23}{37}b(x-1)+by+\frac{17}{37}bz=0\Leftrightarrow \frac{-23}{37}x+y+\frac{17}{37}z+\frac{23}{37}=0\)

Bình luận (3)
Quynh Hoa
Xem chi tiết
Akai Haruma
11 tháng 2 2017 lúc 16:59

Lời giải:

Gọi tọa độ của \(M=(a,b,c)\)

\(M\in (\Delta)\Rightarrow \frac{a-2}{-3}=\frac{b}{1}=\frac{c+1}{2}=t\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a=-3t+2\\b=t\\c=2t-1\end{matrix}\right.\)

Mặt khác \(M\in (P)\Rightarrow a+2b-3c+2=0\)

\(\Leftrightarrow -3t+2+2t-3(2t-1)+2=0\)

\(\Leftrightarrow -7t+7=0\Rightarrow t=1\)

Do đó \(M(-1,1,1)\)

Bình luận (0)
Phương Anh
Xem chi tiết
Akai Haruma
17 tháng 1 2017 lúc 18:28

Bài 1:

ĐKXĐ:.............

Phương trình hoành độ giao điểm của \((d)\cap (C)\):

\(2(x-m)-\frac{2x-m}{mx+1}=0\Leftrightarrow m(2x^2-2mx-1)=0\)

Nếu \(m=0\Rightarrow (d)\equiv C\) (vô lý) nên $m\neq 0$ . Do đó \(2x^2-2mx-1=0\). $(1)$

Hai điểm $A,B$ có hoành độ chính là nghiệm của phương trình $(1)$

Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=m\\ x_1x_2=\frac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(d(O,AB)=\frac{|-2m|}{\sqrt{5}}\); \(AB=\sqrt{(x_1-x_)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{5(m^2+2)}\)

\(\Rightarrow S_{OAB}=\frac{d(O,AB).AB}{2}=|m|\sqrt{m^2+2}\)

Mặt khác, dễ dàng tính được \(M(m,0),N(0,-2m)\) nên \(S_{OMN}=\frac{OM.ON}{2}=\frac{|m||-2m|}{2}=m^2\)

Ta có \(S_{OAB}=3S_{OMN}\Leftrightarrow |m|\sqrt{m^2+2}=3m^2\)

\(\Rightarrow m=\pm \frac{1}{2}(m\neq 0)\)

Bình luận (0)
Akai Haruma
17 tháng 1 2017 lúc 20:54

Bài 2:

Ta có \(A(1,0,1)\in (d_1);B(3,5,4)\in (d_2); \overrightarrow{u_{d_1}}=(-1,1,1);\overrightarrow{u_{d_2}}=(4,-2,1)\)

Dễ thấy \([\overrightarrow{u_{d_1}},\overrightarrow{u_{d_2}}]\overrightarrow{AB}\neq 0\) nên suy ra $(d_1)$ và $(d_2)$ chéo nhau

Gọi \(\overrightarrow{n_P}\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$

Khi đó \(\overrightarrow{n_P}=[\overrightarrow{u_{d_1}},\overrightarrow{u_{d_2}}]=(3,5,-2)\)

Vì $(P)$ đi qua $(d_1)$ nên $(P)$ đi qua $A$. Do đó PTMP là:

\(3(x-1)+5y-2(z-1)=0\Leftrightarrow 3x+5y-2z-1=0\)

Bình luận (0)
Minh Trinh
Xem chi tiết
Akai Haruma
30 tháng 1 2017 lúc 1:26

Lời giải:

Đặt \(\overrightarrow {n_P}=(a,b,c)\). Vì \(\overrightarrow {AB}=(-1,-2,3)\perp \overrightarrow{n_P}\Rightarrow a+2b-3c=0(1)\)

Vì $(P)$ đi qua $A(1,0,0)$ nên phương trình mp $(P)$ :\(a(x-1)+by+cz=0\)

Do đó \(d(C,(P))=\frac{|b+c|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow 4a^2+b^2+c^2=6bc(2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow 37c^2-54bc+17b^2=0\Leftrightarrow (b-c)(17b-37c)=0\)

TH1: \(b=c\Rightarrow a=3c-2b=b\)

PTMP \((P): b(x-1)+by+bz=0\Leftrightarrow x+y+z-1=0\)

TH2: \(b=\frac{37c}{17}\Rightarrow a=3c-2b=\frac{=23c}{17}\)

PTMP $(P)$ : \(\frac{-23}{17}c(x-1)+\frac{37}{17}cy+cz=0\Leftrightarrow -23x+37y+17z+23=0\)

Bình luận (0)
Phan thu trang
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Việt
11 tháng 1 2017 lúc 21:04

\(\overrightarrow{u}\left(x_u;y_u;z_u\right)\)

\(x_u=4x_a-\frac{1}{2}x_b+3x_a=11\)

Làm tương tự, tìm được \(\overrightarrow{u}=\left(11;0;\frac{37}{2}\right)\)

Bình luận (2)
Phương Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Việt
3 tháng 1 2017 lúc 21:12

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên d

\(\left(d\right)=\left\{\begin{matrix}x=3t+2\\y=-2t\\z=2t+4\end{matrix}\right.\)

+) Tìm tọa độ điểm H và K:

\(H\in\left(d\right)\Rightarrow H\left(3h+2;-2h;2h+4\right)\\ \Rightarrow\overrightarrow{AH}=\left(3h+1;-2h-2;2h+5\right)\)

\(\overrightarrow{AH}\perp d\Rightarrow\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{u_d}=0\\ \Leftrightarrow\left(3h+1;-2h-2;2h+5\right)\cdot\left(3;-2;2\right)=17h+17\\ \Rightarrow h=-1\Rightarrow H\left(-1;2;2\right)\)

Tiện thể tính ngay \(AH=\sqrt{13}\)

Làm tương tự, tìm được điểm \(K\left(5;-2;6\right)\)\(BK=\sqrt{13}\)

+) Tìm tọa độ điểm M:

d A H K M B x

\(\left(MA+MB\right)min\Leftrightarrow\frac{MH}{MK}=\frac{AH}{BK}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=1\) (cái này chứng minh bằng hàm số)

Suy ra M là trung điểm HK \(\Rightarrow M\left(2;0;4\right)\)

Bình luận (0)
Nguyễn Hoàng Việt
3 tháng 1 2017 lúc 20:31

C nhé

Bình luận (0)
Phương Anh
Xem chi tiết
Akai Haruma
9 tháng 1 2017 lúc 22:53

Lời giải:

Với $M\in (d)$ ta đặt tọa độ của \(M(3t+2,-2t,2t+4)\)

Khi đó \(MA=\sqrt{(3t+1)^2+(-2t-2)^2+(2t+5)^2}\); \(MB=\sqrt{(3t-5)^2+(-2t+2)^2+(2t+1)^2}\)

\(\Rightarrow f(t)=MA+MB=\sqrt{17t^2+34t+30}+\sqrt{17t^2-34t+30}\)

\(f(t)=\sqrt{(\sqrt{17}t+\sqrt{17})^2+13}+\sqrt{(\sqrt{17}t-\sqrt{17})^2+13}\)

Xét \(\overrightarrow{u}=(\sqrt{17}t+\sqrt{17},\sqrt{13});\overrightarrow{v}=(-\sqrt{17}t+\sqrt{17},\sqrt{13})\)

Ta biết rằng \(|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{v}|\geq |\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|\) nên \(f(t)\geq \sqrt{(2\sqrt{17})^2+(2\sqrt{13})^2}=2\sqrt{30}\)

Dấu $=$ xảy ra khi \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\) cùng hướng hay \(\frac{\sqrt{17}t+\sqrt{17}}{-\sqrt{17}t+\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}>0\Rightarrow t=0\)

\(\Rightarrow M=(2,0,4)\)

Bình luận (0)