Chương 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bài này em cũng hỏi rồi

Nó đây:

- Hoc24

Gọi số cần lập có dạng \(\overline{abcde}\)

e có 4 cách chọn (từ 1;3;5;7)

a có 6 cách chọn (khác 0 và e)

b có 6 cách chọn (khác a và e)

c có 5 cách chọn (khác a,b,e)

d có 4 cách chọn (khác a,b,c,e)

Theo quy tắc nhân, có: \(4.6.6.5.4=...\) số

Vẽ đường thẳng \(y=x\) lên cùng hệ trục

\(\Rightarrow y=f\left(x\right)\) và \(y=x\) cắt nhau tại các điểm \(x=-1;x=1;x=2\)

Do đó \(f\left(cosx+1\right)=cosx+1\) có các nghiệm \(\left[{}\begin{matrix}cosx+1=-1\\cosx+1=1\\cosx+1=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=0\\cosx=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow...\)

\(u_{n+1}=\dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot5}+...+\dfrac{1}{\left(2n-1\right)\cdot\left(2n+1\right)}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{1\cdot3}+\dfrac{2}{3\cdot5}+...+\dfrac{2}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2n+1}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2n+1-1}{2n+1}=\dfrac{n}{2n+1}\)

=>\(u_{50}=u_{49+1}=\dfrac{49}{2\cdot49+1}=\dfrac{49}{99}\)

\(y=\left|sin^4x-2sin^2x+1+m\right|=\left|\left(sin^2x-1\right)^2+m\right|\)

Do \(0\le\left(sin^2x-1\right)^2\le1\)

TH1: \(m\ge0\Rightarrow y=\left(sin^2x-1\right)^2+m\ge m\Rightarrow m=2\)

TH2: \(-1\le m\le0\Rightarrow\left(sin^2x-1\right)^2+m=0\) có nghiệm

\(\Rightarrow\left|\left(sin^2x-1\right)^2+m\right|\ge0\) (có xảy ra dấu =) nên \(y_{min}=0\) ko thỏa mãn

TH3: \(m< -1\Rightarrow\left(sin^2x-1\right)^2+m< 0;\forall x\)

\(\Rightarrow y=\left|\left(sin^2x-1\right)^2+m\right|=-\left(sin^2x-1\right)^2-m\ge-1-m\)

\(\Rightarrow-1-m=2\Rightarrow m=-3\)

B đúng

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}sinx\ne-\dfrac{1}{2}\\sinx\ne1\end{matrix}\right.\)

\(\left(1-2sinx\right)cosx=\sqrt{3}\left(1+2sinx\right)\left(1-sinx\right)\)

\(\Leftrightarrow cosx-2sinx.cosx=\sqrt{3}+\sqrt{3}sinx-2\sqrt{3}sin^2x\)

\(\Leftrightarrow cosx-sin2x=\sqrt{3}+\sqrt{3}sinx-\sqrt{3}\left(1-cos2x\right)\)

\(\Leftrightarrow cosx-sin2x=\sqrt{3}sinx+\sqrt{3}cos2x\)

\(\Leftrightarrow cosx-\sqrt{3}sinx=sin2x+\sqrt{3}cos2x\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}cosx-\dfrac{\sqrt{3}}{2}sinx=\dfrac{1}{2}sin2x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos2x\)

\(\Leftrightarrow cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=cos\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)\)

\(\Leftrightarrow...\)

ĐKXĐ: \(cosx\ne-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ne\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\\x\ne\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(pt\Rightarrow3-\left(1-2sin^2x\right)+2sinx.cosx-5sinx-cosx=0\)

\(\Leftrightarrow2sin^2x-5sinx+2+cosx\left(2sinx-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2sinx-1\right)\left(sinx-2\right)+cosx\left(2sinx-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2sinx-1\right)\left(sinx+cosx-2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=\dfrac{1}{2}\\sinx+cosx=2\left(vn\right)\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

Loại nghiệm

\(\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\)

\(0\le\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\le2022\pi\Rightarrow0\le k\le1010\)

\(\Rightarrow\sum x=1011.\dfrac{\pi}{6}+2\pi\left(0+1+2+...+1010\right)=\dfrac{1011\pi}{6}+2\pi.\dfrac{1010.1011}{2}=...\)

\(y=\sqrt{\dfrac{\sqrt{2}sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)+m-1}{2cos^24x+\dfrac{3}{2}cos4x+\dfrac{21}{2}-5m}}\) 

Hàm xác định trên R khi:

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2}sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)+m-1\ge0\\2cos^24x+\dfrac{3}{2}cos4x+\dfrac{21}{2}-5m>0\end{matrix}\right.\) ;\(\forall x\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-m\le\min\limits_R\left(\sqrt{2}sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)-1\right)=-1-\sqrt{2}\\5m< \min\limits_R\left(2cos^24x+\dfrac{3}{2}cos4x+\dfrac{21}{2}\right)=\dfrac{327}{32}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge1+\sqrt{2}\\m< \dfrac{327}{160}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\in\varnothing\)

Th2: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2}sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)+m-1\le0\\2cos^24x+\dfrac{3}{2}cos4x+\dfrac{21}{2}-5m< 0\end{matrix}\right.\) ;\(\forall x\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le\min\limits_R\left(\sqrt{2}sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)-1\right)=-1-\sqrt{2}\\5m>\max\limits_R\left(2cos^24x+\dfrac{3}{2}cos4x+\dfrac{21}{2}\right)=14\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le-1-\sqrt{2}\\m>\dfrac{14}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\in\varnothing\)

\(\Leftrightarrow m.cosx+\left(2m-1\right)sinx+3-m=y\left(cosx+sinx-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(m-y\right)cosx+\left(2m-y-1\right)sinx=m-2y-3\)

Pt có nghiệm khi:

\(\left(m-y\right)^2+\left(2m-y-1\right)^2\ge\left(m-2y-3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2y^2+\left(2m+10\right)y-4m^2-2m+8\le0\)

\(\Rightarrow\dfrac{-m-5-\sqrt{9m^2+14m+9}}{2}\le y\le\dfrac{-m-5+\sqrt{9m^2+14m+9}}{2}\)

\(\Rightarrow y_{min}=\dfrac{-m-5-\sqrt{9m^2+14m+9}}{2}\le3\)

\(\Rightarrow\sqrt{9m^2+14m+9}\ge-m-11\)

BPT này đúng với mọi m. Vậy bài toán thỏa mãn với mọi m

\(2sinx+5cosx-13< 0;\forall x\)

\(\Rightarrow\) Hàm xác định trên R khi và chỉ khi:

\(2m.sinx+\left(2m-1\right)cosx-m< 0\) ;\(\forall x\) 

\(\Leftrightarrow2m.sinx+\left(2m-1\right).cosx< m\); \(\forall x\)

\(\Rightarrow\dfrac{m}{\sqrt{\left(2m\right)^2+\left(2m-1\right)^2}}>1\)

\(\Rightarrow m\in\varnothing\)