Chương 4: GIỚI HẠN

\(\left(1-n\right)\left(\dfrac{-6n}{\sqrt[2]{n^2-6n}+n}+\dfrac{27n^2}{n^2+n\sqrt[3]{n^3-27n^2}+\sqrt[3]{\left(n^3-27n^2\right)^2}}\right)\)

Ngoặc sau giới hạn hữu hạn tới \(\dfrac{27}{3}-\dfrac{6}{2}=6>0\), ngoặc trước tới âm vô cùng, nên giới hạn bằng âm vô cùng

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{n\left(1-x\right)-\left(1-x^n\right)}{\left(1-x\right)\left(1-x^n\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{n-1-nx+x^n}{1-x^n-x+x^{n+1}}\)

L'Hopital:

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{-n+n.x^{n-1}}{-n.x^{n-1}-1+\left(n+1\right)x^n}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{n\left(n-1\right)x^{n-2}}{-n\left(n-1\right).x^{n-2}+n\left(n+1\right)x^{n-1}}\)

\(=\dfrac{n\left(n-1\right)}{n\left(n+1\right)-n\left(n-1\right)}=\dfrac{n-1}{2}\)

\(\sqrt{a+12}-\sqrt[3]{81+63-19}=0\Rightarrow a=13\)

Khi đó

\(\dfrac{\sqrt{13x^2+4x+8}-\sqrt[3]{81x^2+63x-19}}{\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt[]{13x^2+4x+8}-\left(3x+2\right)+\left(3x+2-\sqrt[3]{81x^2+83x-19}\right)}{\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{\dfrac{4\left(x-1\right)^2}{\sqrt[]{13x^2+4x+8}+\left(3x+2\right)}+\dfrac{27\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}{\left(3x+2\right)^2+\left(3x+2\right)\sqrt[3]{81x^2+63x-19}+\sqrt[3]{\left(81x^2+63x-19\right)^2}}}{\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}\)

Giới hạn đã cho hữu hạn nên \(a=-1\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\left(b-x\right)^2-\left(x^2-6x+2\right)}{b-x+\sqrt{x^2-6x+2}}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\left(6-2b\right)x+b^2-2}{-x+\sqrt{x^2-6x+2}+b}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{6-2b+\dfrac{b^2-2}{x}}{-1-\sqrt{1-\dfrac{6}{x}+\dfrac{2}{x^2}}+\dfrac{b}{x}}=\dfrac{6-2b}{-2}=5\)

\(\Rightarrow b=8\)

Cả 4 đáp án đều sai, số lớn hơn là 8

Khi \(-\dfrac{\pi}{3}< x< \dfrac{\pi}{4}\Rightarrow-\dfrac{1}{2}< cos2x< 1\) (đường tròn lượng giác)

Nhìn đồ thị trên \(\left(-\dfrac{1}{2};1\right)\) \(\Rightarrow1< 2m+1< 2\)

Tìm miền giá trị từ trong ra ngoài sau đó phân tích ngược từ ngoài vào trong:

\(-1\le cos2x\le1\Rightarrow0\le f\left(cos2x\right)\le1\)

Để dễ hình dung, ta đặt \(f\left(cos2x\right)=t\in\left[0;1\right]\)

Trên đoạn này, \(f\left(t\right)=0\) có đúng 1 nghiệm \(t=0\)

\(\Rightarrow f\left(cos2x\right)=0\)

Trên \(\left[-1;1\right]\) pt \(f\left(x\right)=0\) cũng có đúng 1 nghiệm \(x=0\)

\(\Rightarrow cos2x=0\)

Pt này có 4 điểm biểu diễn

bài này hình như đã làm rồi thì phải?

\(\dfrac{2x^2-3x+2-\left(x+1\right)\left(ax+b\right)}{x+1}=\dfrac{\left(2-a\right)x^2-\left(a+b+3\right)x+2-b}{x+1}\)

Đến đoạn này thì nhớ ra là em hỏi rồi thật

Từ đồ thị \(\Rightarrow f\left(1\right)=f\left(3\right)=0\)

Mà \(f\left(x\right)\) bậc 2 nên \(f\left(x\right)=k\left(x-1\right)\left(x-3\right)\) với k là số thực nào đó

Đồ thị \(f\left(x\right)\) qua \(\left(0;1\right)\Rightarrow3k=1\Rightarrow k=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{3}\left(x-1\right)\left(x-3\right)\)

Thế vào:

\(\dfrac{4\sqrt{3x+1}+x\sqrt{2x-1}-2x^2-x-6}{\dfrac{1}{9}\left(x-1\right)^2\left(x-3\right)^2}\)

\(=\dfrac{-x\left(x-\sqrt{2x-1}\right)-\left(3x+5-4\sqrt{3x+1}\right)-\left(x-1\right)^2}{\dfrac{1}{9}\left(x-1\right)^2\left(x-3\right)^2}\)

Liên hợp 2 ngoặc đầu sẽ khử được hết

Bài này cần nghịch suy ra hàm cụ thể trước khi làm giới hạn

-1/2

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\sqrt[3]{\dfrac{\dfrac{2}{x}-1}{8-\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x^2}}}=\sqrt[3]{\dfrac{-1}{8}}=-\dfrac{1}{2}\)

D là đáp án đúng (đặt x=-t sẽ dễ tư duy trong trường hợp này)