Chương 4: GIỚI HẠN

Lời giải:

Xét hàm số \(f(x)=(m^2-m+1)x^8+3mx^2-3x-2\)

Vì đây hàm số sơ cấp xác định tại \(x\in\mathbb{R}\) nên hàm liên tục trên miền \(\mathbb{R}\)

Ta có:

\(f(0)=-2<0\)

\(f(-1)=m^2-m+1+3m+3-2=m^2+2m+2=(m+1)^2+1>0\)

\(f(2)=256(m^2-m+1)+12m-8=256m^2-244m+248\)

\(f(2)=(16m-\frac{61}{8})^2+\frac{12151}{64}>0\)

Do đó: \(\left\{\begin{matrix} f(0)f(-1)<0\\ f(0)f(2)<0\end{matrix}\right.\)

Suy ra theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục thì phương trình \(f(x)=0\) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \((-1;0)\) và một nghiệm thuộc khoảng \((0;2)\)

Hay PT \(f(x)=0\) có ít nhất hai nghiệm trái dấu.

\(\lim_{x\to 0} \dfrac{\sqrt[5]{x+1}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{(\sqrt[5]{x+1})^4+(\sqrt[5]{x+1})^3+(\sqrt[5]{x+1})^2+\sqrt[5]{x+1}+1}=\dfrac{1}{5}\)

Để tìm giới hạn này, chúng ta có thể yếu tố đa thức trong tử số, và hủy bỏ ra bất kỳ yếu tố thông thường.

`lim_{x->1} {x^5-1}/{x-1}`

`=lim_{x->1}{(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)}/{x-1}`

`=lim_{x->1}(x^4+x^3+x^2+x+1)`

`=1+1+1+1+1` 

`=5`

trong hai dòng cuối cùng mẫu số không còn là một vấn đề với các giới hạn và chúng ta có thể sử dụng thay thế trực tiếp.

1/5