§3. Phương trình elip

F1(\(-\sqrt{3};0\)) => c=\(\sqrt{3}\)

có: \(b^2=a^2-c^2=a^2-3\)

pt elip di qua M:

\(\dfrac{3}{a^2}+\dfrac{1}{4b^2}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{a^2}+\dfrac{1}{4a^2-12}=1\)

dat a^2=t (t>0)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{t}+\dfrac{1}{4t-12}=1\\ \Leftrightarrow12t-36+t=4t^2-12t\)

\(\Leftrightarrow4t^2-25t+36=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=4\\t=\dfrac{9}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a^2=4\\a^2=\dfrac{9}{4}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b^2=1\\b^2=-\dfrac{3}{4}\left(loai\right)\end{matrix}\right.\)

=>ptelip: \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{1}=1\)

F1(-2;0) nên c=-2

=>c^2=4

=>c^2=a^2-b^2=4

=>a^2=b^2+4

(E): x^2/a^2+y^2/b^2=1

Thay x=2 và y=3 vào (E), ta được:

2^2/a^2+3^2/b^2=1

=>4/a^2+9/b^2=1

=>\(\dfrac{4}{b^2+4}+\dfrac{9}{b^2}=1\)

=>\(\dfrac{13b^2+36}{b^2\left(b^2+4\right)}=1\)

=>b^4+4b^2-13b^2-36=0

=>b^2=12

=>b=2căn 3

=>a=4

=>(E): x^2/16+y^2/12=1

\(16x^2+25y^2=100\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1\)

\(\Rightarrow a=\dfrac{5}{2}\)

\(\Rightarrow MF_1+MF_2=2a=5\)

Tiêu cự là \(2c\), độ dài trục lớn là \(2a\) \(\Rightarrow\dfrac{2c}{2a}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow a=2c\) (1)

Phương trình elip có dạng:

\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2-c^2}=1\) (2)

Thay (1) vào (2):

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{4c^2}+\dfrac{y^2}{3c^2}=1\) (3)

Do elip qua A, thay tọa độ A vào (3):

\(\Rightarrow\dfrac{6^2}{4c^2}+\dfrac{0}{3c^2}=1\Rightarrow c=3\) \(\Rightarrow a=2c=6\)

\(\Rightarrow b^2=a^2-c^2=27\)

Vậy pt elip là: \(\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{27}=1\)

\(\left(E\right):\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{6}=1\)

\(\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{9-6}=\sqrt{3}\)

\(F_1\left(-\sqrt{3},0\right)\)

1 elip có hai tiêu điểm là F1(-c; 0); F2(c; 0) với \(c^2=a^2-b^2=9-6=3\Rightarrow c=\pm\sqrt{3}\)

vậy elip (E) có 1 tiêu điểm (\(\sqrt{3};0\))

Theo đề bài ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}2c=8\\\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=4\\a=3b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-b^2=4\\a^2=9b^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=\dfrac{9}{2}\\b^2=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(E\right):\dfrac{x^2}{\dfrac{9}{2}}+\dfrac{y^2}{\dfrac{1}{2}}=1\)

Giả sử a > b > 0 ; a > c > 0 . Ta có : \(\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{3};2c=8\)

Suy ra : \(a=3b;c=4\)

Mặt khác : \(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{\left(3b\right)^2-b^2}=2\sqrt{2}b=4\)

\(\Rightarrow b=\sqrt{2}\) \(\Rightarrow a=3\sqrt{2}\)

PTCT của elip : \(\dfrac{x^2}{18}+\dfrac{y^2}{2}=1\)

Do C là 1 đỉnh trên trục lớn của elip đồng thời tam giác ABC đều \(\Rightarrow\) AB vuông góc trục lớn elip \(\Rightarrow\)A và B nằm về 2 phía trục hoành. Giả sử A là điểm có tung độ dương

Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow H\in Ox\Rightarrow H\left(h;0\right)\) đồng thời \(x_A=x_H=h\) và \(\left|h\right|< 2\)

\(\dfrac{h^2}{4}+\dfrac{y_A^2}{1}=1\Rightarrow y_A=\sqrt{1-\dfrac{h^2}{4}}\)

Tam giác ABC đều \(\Rightarrow\widehat{ACB}=60^0\Rightarrow\widehat{ACH}=30^0\)

\(tan30^0=\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{y_A}{x_C-x_H}=\dfrac{\sqrt{1-\dfrac{h^2}{4}}}{2-h}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\Leftrightarrow12-3h^2=4\left(2-h\right)^2\)

\(\Leftrightarrow7h^2-16h+4=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}h=\dfrac{2}{7}\\h=2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y_A=\sqrt{1-\dfrac{h^2}{4}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{7}\)

Vậy tọa độ 2 điểm A và B là \(\left(\dfrac{2}{7};\dfrac{4\sqrt{3}}{7}\right)\) và \(\left(\dfrac{2}{7};-\dfrac{4\sqrt{3}}{7}\right)\)