Chương 3: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Pham Tien Dat
Xem chi tiết
Akai Haruma
4 tháng 1 2021 lúc 23:56

Lời giải:

Ta sẽ đi CM đẳng thức tổng quát:

\((C^1_{2n})^2-(C^2_{2n})^2+(C^3_{2n})^2-....+(C^{2n-1}_{2n})^2-(C^{2n}_{2n})^2=C^n_{2n}+1\) với $n$ lẻ.

Theo nhị thức Newton ta có:

\((x^2-1)^{2n}=C^0_{2n}-C^1_{2n}x^2+C^2_{2n}x^4-....-C^n_{2n}x^{2n}+...+C^{2n}_{2n}x^{4n}\). Trong này, hệ số của $x^{2n}$ là $-C^n_{2n}$

Tiếp tục sử dụng nhị thức Newton:

\((x^2-1)^{2n}=(x+1)^{2n}(x-1)^{2n}=(C^0_{2n}+C^1_{2n}+C^2_{2n}x^2+...+C^{2n}_{2n}x^{2n})(C^0_{2n}x^{2n}-C^1_{2n}x^{2n-1}+C^2_{2n}x^{2n-2}-...+C^{2n}_{2n})\). Trong này, hệ số của $x^{2n}$ là

\((C^0_{2n})^2-(C^1_{2n})^2+(C^2_{2n})^2-.....+(C^{2n}_{2n})^2\)

Do đó:

\(-C^n_{2n}=(C^0_{2n})^2-(C^1_{2n})^2+(C^2_{2n})^2-.....+(C^{2n}_{2n})^2\)

\(\Leftrightarrow -C^n_{2n}=1-(C^1_{2n})^2+(C^2_{2n})^2-.....+(C^{2n}_{2n})^2\)

\(\Leftrightarrow (C^1_{2n})^2-(C^2_{2n})^2+...-(C^2_{2n})^2=1+C^n_{2n}\) 

Thay $n=1011$ ta có đpcm.

Bình luận (0)
Ngọc Ngô
Xem chi tiết
Akai Haruma
25 tháng 4 2018 lúc 18:09

Lời giải:

Ta có:

\((\sqrt{n+1}+\sqrt{n})U_n=\frac{2}{2n+1}\)

\(\Rightarrow U_n=\frac{2}{(2n+1)(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\frac{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{2n+1}\)

\(=\frac{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{(n+1)+n}<\frac{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{2\sqrt{n(n+1)}}\) (áp dụng bđt am-gm thì \((n+1)+n\geq 2\sqrt{n(n+1)}\), dấu bằng không xảy ra vì \(n\neq n+1\))

hay \(U_n< \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

Do đó:
\(U_1+U_2+...+U_{2010}< \frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-...+\frac{1}{\sqrt{2010}}-\frac{1}{\sqrt{2011}}\)

\(\Leftrightarrow U_1+U_2+..+U_{2010}< 1-\frac{1}{\sqrt{2011}}< \frac{1005}{1006}\)

Ta có đpcm.

Bình luận (0)
huynh thi huynh nhu
Xem chi tiết
Lương Đức Trọng
23 tháng 2 2016 lúc 16:34

\(u_2=u_1.q,u_5=u_1.q^4,u_6=u_1.q^5\) nên

\(u_1(1+q^4)=51,u_1q(1+q^4)=102\)

chia 2 vế ta được q=2, suy ra u1=3

Bình luận (0)
huynh thi huynh nhu
Xem chi tiết
Lương Đức Trọng
23 tháng 2 2016 lúc 16:32

Gọi số hạng đầu tiên là a, công sai là d. 3 số hạng đầu là a,a+d.a+2d

a+(a+d)+(a+2d)=3a+3d=-6 nên d=-a-2

Suy ra 3 số hạng đầu là a, -2, -a-4

\(a^2+(-2)^2+(-a-4)^2=2a^2+8a+20=30\)

nên a=1,d=-3 hoặc a=-5,d=3

Bình luận (0)
huynh thi huynh nhu
Xem chi tiết
Lương Đức Trọng
23 tháng 2 2016 lúc 16:27

Gọi 6 số hạng cấp số cộng là a,a+d,a+2d,...,a+5d. Suy ra

a+(a+d)+(a+2d)+...(a+4d)=5a+(1+2+3+4)d=5a+10d=31

a+d+(a+2d)+(a+3d)+...(a+5d)=5a+(1+2+3+4+5)d=5a+15d=62

Suy ra \(d=\dfrac{31}{5},a=-\dfrac{31}{5}\)

Bình luận (0)
Phùng Lâm
Xem chi tiết
Phạm Thuhà
15 tháng 8 2016 lúc 19:06

Dãy số - cấp số cộng và cấp số nhân

Bình luận (0)