§1. Bất đẳng thức

Phong
Xem chi tiết
missing you =
27 tháng 1 2022 lúc 11:47

\(S=\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}+\dfrac{1}{d^2+1}\)

\(\dfrac{1}{a^2+1}=1-\dfrac{a^2}{a^2+1}\ge1-\dfrac{a^2}{2a}=1-\dfrac{a}{2}\)

\(tương\) \(tự\) \(với:\dfrac{1}{b^2+1};\dfrac{1}{c^2+1};\dfrac{1}{d^2+1}\)

\(\Rightarrow S\ge1-\dfrac{a}{2}+1-\dfrac{b}{2}+1-\dfrac{c}{2}+1-\dfrac{d}{2}=4-\left(\dfrac{a+b+c+d}{2}\right)=4-\dfrac{4}{2}=2\)

\(\Rightarrow min_S=2\Leftrightarrow a=b=c=d=1\)

Bình luận (0)
Nguyễn Tuấn
Xem chi tiết
Eren
19 tháng 1 2022 lúc 22:25

Áp dụng bđt Cô-si: 

\(2.1.\sqrt{1-x}+x\le2.\dfrac{1+1-x}{2}+x=2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt{1-x}=1\) <=> x = 0

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
19 tháng 1 2022 lúc 22:26

\(2.1.\sqrt{1-x}+x\le1+1-x+x=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(1=1-x\Rightarrow x=0\)

Bình luận (7)
ILoveMath
19 tháng 1 2022 lúc 22:27
Bình luận (1)
Nguyễn Tuấn
Xem chi tiết
ILoveMath
19 tháng 1 2022 lúc 21:37

\(x+\dfrac{16}{x-1}\\ =x-1+\dfrac{16}{x-1}+1\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(x-1+\dfrac{16}{x-1}+1\\ \ge2\sqrt{\left(x-1\right).\dfrac{16}{x-1}}+1\\ =2\sqrt{16}+1\\ =9\)

Dấu "=" xảy ra

 \(\Leftrightarrow x-1=\dfrac{16}{x-1}\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=16\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=4\\x-1=-4\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=-3\end{matrix}\right.\)

 

Bình luận (0)
VANHATG•-•
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
17 tháng 1 2022 lúc 20:00

\(C=\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{4}{x^2}\right)+3\left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{x}\right)+\dfrac{x}{4}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{4x^2}{4x^2}}+3.2\sqrt{\dfrac{x}{4x}}+\dfrac{2}{4}=\dfrac{13}{2}\)

\(C_{min}=\dfrac{13}{2}\) khi \(x=2\)

Bình luận (0)
Trần Thanh Bình 10A2
Xem chi tiết
Hiếu Văn Huỳnh
Xem chi tiết
Trên con đường thành côn...
9 tháng 1 2022 lúc 16:11

BĐT tương đương

\(\dfrac{a+c}{b+c}-\dfrac{a}{b}>0\Leftrightarrow\dfrac{ab+bc-ab-ac}{b\left(b+c\right)}>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{c\left(b-a\right)}{b\left(b+c\right)}>0\)\(\Leftrightarrow b-a>0\Leftrightarrow b>a\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}< 1\)(đúng vì GT)

Bình luận (0)
đấng ys
Xem chi tiết
missing you =
8 tháng 1 2022 lúc 17:02

\(\sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{1-a-b-ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{\left(1-b\right)\left(1-a\right)}}\le\dfrac{\dfrac{a}{1-b}+\dfrac{b}{1-a}}{2}\left(1\right)\) \(tương-tự\Rightarrow\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}}\le\dfrac{\dfrac{b}{1-c}+\dfrac{c}{1-b}}{2}\left(2\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{ca}{b+ ca}}\le\dfrac{\dfrac{c}{1-a}+\dfrac{a}{1-c}}{2}\left(3\right)\)

\( \left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow A\le\dfrac{\dfrac{a}{1-b}+\dfrac{b}{1-a}+\dfrac{b}{1-c}+\dfrac{c}{1-b}+\dfrac{c}{1-a}+\dfrac{a}{1-c}}{2}=\dfrac{\dfrac{a+c}{1-b}+\dfrac{b+c}{1-a}+\dfrac{b+a}{1-c}}{2}=\dfrac{\dfrac{1-b}{1-b}+\dfrac{1-a}{1-a}+\dfrac{1-c}{1-c}}{2}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow A_{max}=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Bình luận (0)
đấng ys
8 tháng 1 2022 lúc 10:59

à e nhầm tìm giá trị lớn nhất ạ

Bình luận (0)
đấng ys
Xem chi tiết
Quang Ngo
Xem chi tiết