Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+\sqrt{x^2-y^2}=12\\y\sqrt{x^2-y^2}=12\end{matrix}\right.\)
Giải hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+\sqrt{x^2-y^2}=12\\y\sqrt{x^2-y^2}=12\end{matrix}\right.\)
cho hàm số \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) thỏa mãn \(f\left(x\right)\le1\) \(\forall x\in\left[-1;1\right]\).
CMR: \(\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|\le4\)
1.
a, \(\left(2x-5\right)\left(x^2-x-6\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}2x-5< 0\\x^2-x-6>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2x-5>0\\x^2-x-6< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x< \dfrac{5}{2}\\\left[{}\begin{matrix}x< -2\\x>3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x>\dfrac{5}{2}\\-2< x< 3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x< -2\\\dfrac{5}{2}< x< 3\end{matrix}\right.\)
Vậy ...
b, \(\dfrac{3x+4}{x^2-3x+5}< 0\)
Vì \(x^2-3x+5=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}>0\) nên bất phương trình tương đương:
\(3x+4>0\Leftrightarrow x>-\dfrac{4}{3}\)
c, \(\left|3x+7\right|>2x+3\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x+7< -2x-3\\3x+7>2x+3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x< -2\\x>-4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x\in R\)
2.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi:
\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(2m+1\right)=m^2-4m>0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 0\\m>4\end{matrix}\right.\)
5.
a, \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-2;-1\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(4;5\right)\\\overrightarrow{CA}=\left(-2;-4\right)\end{matrix}\right.\)
Phương trình đường thẳng AB:
\(\dfrac{x-3}{-2}=\dfrac{y-2}{-1}\Leftrightarrow x-2y+1=0\)
Phương trình đường thẳng BC:
\(\dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y-1}{5}\Leftrightarrow5x-4y-1=0\)
Phương trình đường thẳng CA:
\(\dfrac{x-5}{-2}=\dfrac{y-6}{-4}\Leftrightarrow2x-y-4=0\)
\(\Leftrightarrow x+2y-17=0\)
b, \(\left\{{}\begin{matrix}AH\perp BC\\A=\left(3;2\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow4x+5y-22=0\left(AH\right)\)
M có tọa độ: \(\left\{{}\begin{matrix}x_M=\dfrac{x_B+x_C}{2}=3\\y_M=\dfrac{y_B+y_C}{2}=\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow M=\left(3;\dfrac{7}{2}\right)\)
Ta có \(\overrightarrow{AM}=\left(0;\dfrac{3}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\) Phương trình tham số của AM: \(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=2+\dfrac{3}{2}t\end{matrix}\right.\)
Giải và biện luận bất phương trình sau
\(\dfrac{mx-m+1}{x-1}< 0\)
Tìm m để bất phương trình \(x^2-2x+4\sqrt{\left(4-x\right)\left(x+2\right)}-18+m\ge0\) nghiệm đúng với mọi \(x\in\left[-2;4\right]\)
\(x^2-2x+4\sqrt{\left(4-x\right)\left(x+2\right)}-18+m\ge0\)
\(\Leftrightarrow-\left(-x^2+2x+8\right)+4\sqrt{-x^2+2x+8}\ge10-m\left(1\right)\)
Đặt \(t=\sqrt{-x^2+2x+8}\left(0\le t\le3\right)\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow10-m\le f\left(t\right)=-t^2+4t\)
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi
\(10-m\le minf\left(t\right)=min\left\{f\left(0\right);f\left(3\right);f\left(2\right)\right\}=f\left(0\right)=0\)
\(\Leftrightarrow m\ge10\)
Vậy \(m\ge10\)
\(\dfrac{\left|x+1\right|-1}{x^2+x+1}=f\left(x\right)\)
cho \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) thỏa mãn |f(x)| ≤ 1 \(\forall x\in\left[-1;1\right]\). Chứng minh rằng \(\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|\le4\)
Lời giải:Đặt $A=f(1)=a+b+c; B=f(-1)=a-b+c; C=f(0)=c$
Theo đề bài: $|A|, |B|, |C|\leq 1$
\(|a|+|b|+|c|=|\frac{A+B}{2}-C|+|\frac{A-B}{2}|+|C|\)
\(\leq |\frac{A+B}{2}|+|-C|+|\frac{A-B}{2}|+|C|=|\frac{A}{2}|+|\frac{B}{2}|+|C|+|\frac{A}{2}|+|\frac{-B}{2}|+|C|\)
\(=|A|+|B|+2|C|\leq 1+1+2=4\) (đpcm)
CMR : a,b,c >0
1,\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\dfrac{>}{ }\dfrac{a+b+c}{2}\)
2,\(\dfrac{a+b}{a^2+b^2}+\dfrac{b+c}{b^2+c^2}+\dfrac{a+c}{a^2+c^2}\dfrac{< }{ }\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
1.
Áp dụng BĐT BSC:
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c>0\)
2.
Áp dụng BĐT \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\) và BĐT BSC:
\(\dfrac{a+b}{a^2+b^2}+\dfrac{b+c}{b^2+c^2}+\dfrac{c+a}{c^2+a^2}\)
\(\le\dfrac{a+b}{\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}}+\dfrac{b+c}{\dfrac{\left(b+c\right)^2}{2}}+\dfrac{c+a}{\dfrac{\left(c+a\right)^2}{2}}\)
\(=\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)
\(\le2.\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\)
\(=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c>0\)
Cách khác:
1.
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b+c}{4}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c+a}{4}+\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a+b}{4}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge a+b+c-\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c>0\)
CMR : a,b,c >0
\(\left(a^3+b^3+c^3\right).\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\dfrac{>}{ }\left(a+b+c\right)^2\)
Đây chính là BĐT Bunhiacopxky mà bạn?
a.
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x+4\ge0\\1-x\ge0\\1-2x\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-4\le x\le\dfrac{1}{2}\)
BPT tương đương:
\(\sqrt{x+4}\le\sqrt{1-x}+\sqrt{1-2x}\)
\(\Leftrightarrow x+4\le2-3x+2\sqrt{2x^2-3x+1}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2x^2-3x+1}\ge2x+1\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+1< 0\\\left\{{}\begin{matrix}2x+1\ge0\\2x^2-3x+1\ge4x^2+4x+1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x< -\dfrac{1}{2}\\\left\{{}\begin{matrix}x\ge-\dfrac{1}{2}\\2x^2+7x\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x< -\dfrac{1}{2}\\-\dfrac{1}{2}\le x\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x\le0\)
Kết hợp ĐKXĐ ta được nghiệm của BPT: \(-4\le x\le0\)
Ở câu b, 2 dấu trong căn bên trái là dấu cộng hay trừ vậy nhỉ?
Giống dấu trừ mà thấy có 2 gạch dọc thẳng đứng nghi ngờ quá
c.
ĐKXĐ: \(x\ge\dfrac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+2}+x^2-2x+1+x+1-\sqrt{3x-2}\le0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+2}+\left(x-1\right)^2+\dfrac{x^2-x+3}{x+1+\sqrt{3x-2}}\le0\)
Do vế trái luôn dương nên BPT đã cho vô nghiệm