Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Khi \(x\ge0\Rightarrow2x+1>0\) nên BPT tương đương:

\(x^2-3x+m>\left(2x+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x+m>4x^2+4x+1\)

\(\Leftrightarrow3x^2+7x+1< m\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=3x^2+7x+1\) trên \(\left[0;2\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{7}{6}\notin\left[0;2\right]\) ; \(f\left(0\right)=1\) ; \(f\left(2\right)=27\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\ge1\Rightarrow\) pt có nghiệm trên đoạn đã cho khi \(m>1\)

Bn tham khảo nhé!

\(f\left(x\right)=\left(m+2\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m-2< 0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a< 0\\\Delta< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+2< 0\\\left(m-1\right)^2-\left(m+2\right)\left(m-2\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -2\\m^2-2m+1-m^2+4< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -2\\5-2m< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -2\\m>\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow loại\)

Vậy...

- Với \(m=-2\) ko thỏa mãn

- Với \(m\ne-2\) bài toán thỏa mãn khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m+2< 0\\\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m+2\right)\left(m-2\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -2\\-2m+5< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -2\\m>\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài

Xét \(g\left(x\right)=\dfrac{2x^2+x-1}{x^2-x+1}\)

\(g\left(x\right)=\dfrac{3x^2-\left(x^2-x+1\right)}{x^2-x+1}=\dfrac{3x^2}{x^2-x+1}-1\ge-1\)

\(g\left(x\right)=\dfrac{3\left(x^2-x+1\right)-x^2+4x-4}{x^2-x+1}=3-\dfrac{\left(x-2\right)^2}{x^2-x+1}\le3\)

\(\Rightarrow-1\le g\left(x\right)\le3\Rightarrow0\le\left|g\left(x\right)\right|\le3\)

\(\Rightarrow y_{max}=3\) khi \(x=2\)

Lời giải:

Áp dụng công thức $|a|-|b|\leq |a-b|$ ta có:

$|x-1|+|y-2|+|z-3|\geq |x|-1+|y|-2+|z|-3=|x|+|y|+|z|-6=2020-6=2014$

Vậy GTNN của biểu thức là $2014$

Giá trị này đạt tại \(\left\{\begin{matrix} x,y,z\geq 0\\ |x|+|y|+|z|=2020\end{matrix}\right.\)

`|x^2-x-4|>-x-4`

`ĐK:x< -4`

`<=>(x^2-x-4)^2>(-x-4)^2`

`<=>x^2(x^2-2x-8)>0`

Vì `x< -4=>x ne 0`

`=>x^2-2x-8>0`

`<=>x^2-4x+2x-8>0`

`<=>x(x-4)+2(x-4)>0`

`<=>(x-4)(x+2)>0`

`<=>x>4\or\x< -2`

Kết hợp ĐK trên

`=>x< -2`

Vậy `x< -2` thì `|x^2-x-4|> -x-4`

a. \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=b=0\\c>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a>0\\b^2-4ac< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

b. \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=b=0\\c< 0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a< 0\\b^2-4ac< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

c. \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=b=0\\c\ge0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a>0\\b^2-4ac\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

d. \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=b=0\\c\le0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a< 0\\b^2-4ac\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Đề bài thiếu, yêu cầu chứng minh gì nhỉ bạn?

Muốn một tam thức bậc 2 nhỏ hơn 0 với mọi x thì hệ số a phải nhỏ hơn 0 và Δ < 0 luôn

Cơ mà 1 > 0 rồi nên không có m thoả mãn

Để f(x)<0

`<=>a<0,\Delta<0`

`<=>1<0` vô lý.

Vậy BPT vô nghiệm